Родилась 4 февраля 1977 года в Великом Новгороде. Мать – инженер-технолог, а отец – врач-фармацевт. В школе Анна активно изучала иностранные языки и увлекалась музыкой. Она осваивала игру на фортепьяно и вокальное мастерство. Благодаря своему голосу в возрасте семнадцати лет она получила премию «Волковские зори» и стала лауреатом международного конкурса в Санкт-Петербурге. Несмотря на это, Невская по настоянию матери решила выучиться на переводчика в ущерб творческой карьере. Итак, она поступила на факультет иностранных языков Новгородского пединститута, однако уже через пару лет поняла, что хочет петь. Анна бросила институт и отправилась в столицу, где успешно прошла отбор в ГИТИС на экспериментальное отделение мюзикла. Уже студенткой Невская отметилась в фильме Никиты Михалкова «Сибирский цирюльник», однако в дальнейшем она сконцентрировалась на театре. В тот период на столичных сценах шел целый ряд громких мюзиклов, и талант Анны сразу заметили режиссеры. Она отметилась в таких ярких представлениях, как «Дракула», «Нотр Дам де Пари» и «Иствикские ведьмы». Чуть позднее она сыграла также в спектаклях «Облом off» и «Пленные духи», за которые была удостоена премии «Чайка».
В 2005 году началась работа над съемками адаптации американского сериала «Кто в доме хозяин?». Невская проходила кастинг в общем порядке, при этом она на тот момент не хотела афишировать свою деятельность, чтобы ее не посчитали просто певицей. Отбор был достаточно жесткий, а конкуренция – высокой, но Анне улыбнулась удача. Вскоре она стала хорошо известна широкому зрителю. Затем актриса отметилась в фильмах и сериалах «Цвет неба», «Елка, кролик, попугай», «Куклы колдуна», «Синдром Феникса», «Полынь – трава окаянная». Среди последних работ Невской следует отметить фильмы «Ошибки любви», «Новогодний брак» и сериал «Физика или химия» (создан на основе популярного испанского проекта).
В начале 2013 года Анна вышла замуж за актера Дмитрия Клепацкого, коллегу по сериалу «Джокер».
