Родилась в Ленинграде 24 января 1975 года в семье предпринимателя. Когда девочке было 7 лет, отец оставил семью, и Анну воспитывали мать-инженер и бабушка, артистка Театра музыкальной комедии. Именно по ее стопам решила пойти Банщикова, когда окончила школу и подала документы в Ленинградский государственный институт театра, музыки и кинематографии. Уже студенткой она начала играть на подмостках. За свою карьеру Анна работала на сцене Театра комедии им. Коммисаржевской, Театра на Литейном, театра «Русская антреприза». С гастролями она объездила полмира.
С 1993 года начинается карьера Банщиковой в кино: она появилась в эпизоде драмы Дмитрия Астрахана «Ты у меня одна» с Мариной Нееловой и Александром Збруевым в главных ролях. Фильмография актрисы насчитывает почти 70 кино- и телепроектов. Режиссеры ценят ее актерские способности, неординарную внешность, глубину эмоциональных переживаний. В «Убойной силе» Анна сыграла чеченскую девушку, причем так убедительно, что кавказцы принимали ее за свою. Банщикова также снималась в популярных сериалах «Улицы разбитых фонарей», «Агент национальной безопасности», «Империя под ударом», «Тайны следствия».
Сериалы – родная стихия Банщиковой, она быстро вживается в разноплановые роли и очень убедительно передает характер своих героинь. Ее талант раскрылся на съемочных площадках проектов «Каменская» (странноватая девочки, забитая отцом), «Ниро Вульф и Арчи Гудвин» (мисс Джеймс), «Лучший город Земли» (Нелли Морозова, работница консерватории, влюбленная в иностранца).
В сериале «Мангуст» Банщикова сыграла отчаянную сотрудницу детективного агентства Зосю Цицелину, которая управляет автомобилем на высоких скоростях и занимается боями без правил. В 2004 году Анна появилась в ленте «Лебединый рай» в необычном для нее амплуа: она исполнила роль боевой девчонки по прозвищу «Чума». Режиссер Александр Митта даже хотел обесцветить актрисе шевелюру, чтобы придать ей вид «своей в доску». Вместо этого на ночь Анне заплетали мелкие косички, что давало эффект пережженных химией волос. Партнерами Банщиковой по съемочной площадке стали Нина Русланова, Амалия Мордвинова, Валентин Гафт.
Анна ежегодно снимается в нескольких проектах. Она сотрудничала с прославленными отечественными режиссерами: Дмитрием Астраханом, Евгением Татарским, Кириллом Капица, Юрием Мороз, Александром Митта, Виктором Мережко. Среди последних работ Анны можно выделить сериалы «Сонька Золотая ручка» (Фейга), «Тяжелый песок» (Соня Вишневская).
В 1999 году актриса вышла замуж за певца Максима Леонидова. Пара вызывала восхищение поклонников и коллег, а Леонидов посвящал своей супруге песни. В 2003-м брак распался. Второй муж актрисы – адвокат Всеволод Шаханов. У пары двое сыновей.
