Антон родился 5 мая 1982 года в советском Казахстане, городе Астане. Грезы об актерстве посетили его далеко не сразу. После школы молодой человек предпочел получить вполне «земную» и более «надежную» профессию и поступил в местный торгово-экономический колледж на факультет экономики. Став квалифицированным менеджером и маркетологом, Антон продолжал еще год двигаться в этом направлении, прежде чем окунуться в собственное желание и сказать ему «да!». Тогда-то молодой человек переехал в Москву и поступил в Школу-студию МХАТ.
Антон дебютировал в кино, когда еще учился в Школе-студии. В 23 года Пампушный впервые появился на экране, снявшись в телеленте Кирилла Серебренникова «Откровенные полароидные снимки» (2005), где он исполнил второстепенную роль телохранителя. Одновременно Пампушный начал играть на подмостках Московского драматического театра имени А.С. Пушкина, в труппу которого был принят сразу после окончания учебы.
Первая крупная роль в кино, принесшая Антону относительную известность, появилась спустя год после получения диплома. В 2008 году Антон сыграл главную роль в исторической драме Игоря Каленова «Александр. Невская битва». Каленов искал славянина с выдающейся мускулатурой, способного сыграть доблестного воина и русского героя Александра Невского. И Антон удачно подошел под этот образ. Лента повествует о событиях, произошедших в 13 веке. Новгородский князь Александр, которого играет Антон, любим народом, но имеет и врагов. Огромная армия Батыя угрожает нашествием с юга. Шведские рыцари замышляют крестовый поход на Русь, они засылают в Новгород шпиона. Боярская оппозиция готовит покушение на Александра, вынашивает предательский план сдачи города. А лучший друг князя Ратмир пытается соблазнить красавицу-княжну.
В том же году Антон сыграл в еще одной доблестной роли – хорошего милиционера в современной криминальной драме «Капкан для киллера» (2008) вместе с Игорем Лифановым. Следом Пампушный показал, что хорошо справляется и с глубокими драматическими ролями. В 2009-м он воплотил образ главного героя в ленте Андрея Прошкина по сценарию Александра Миндадзе «Миннесота». Эта спортивная драма рассказывает историю двух братьев — хоккеистов провинциальной команды, одного из которых играет Антон. Они мечтают вырваться из серой провинциальной жизни, но не могут, и когда одному брату предлагают контракт в Америке, он отказывается ради второго.
В следующем году Антон попробовал себя в мелодраматическом мини-сериале «Дом малютки» (2010) в роли молодого доброго милиционера Кости, который встречает на своем пути красавицу Веру, чьи планы построить карьеру и выйти замуж внезапно меняет вокзальный подкидыш. А также актер сыграл брутального внучка, мстящего за смерть деда, в боевике «Петля» (2010). Следом в 2011-м Антон вновь сыграл романтического героя из женских грез – на этот раз в сериале «Я дождусь…». Пампушный воплощает образ солдата, вернувшегося с войны вместе с возлюбленной француженкой.
Актер еще раз примерил на себя образ русского богатыря, сыграв Алешу Поповича в фильме «Реальная сказка» (2011), получившем широкий резонанс благодаря участию в ленте Сергея Безрукова. В том же году актер окончил режиссерский факультет ВГИКа, получив квалификацию режиссера. Впрочем, фильмов от режиссера Пампушного к 2013-му году еще не появилось. У Антона совсем нет времени: он активно играет в театре и в кино, чередуя роли в мелодрамах и боевиках: «Последнее дело Казановы» (2011), «Пандора» (2011), «Жизнь после жизни» (2013), «Бедная LIZ» (2013).
