Азиз Болотович Бейшеналиев родился 15 марта 1971 года. Он является сыном известного киргизского актера Болота Бейшеналиева. В 1989-1992 годах Азиз Бейшеналиев учился на факультете восточных языков Ташкентского государственного университета, кафедра китайской филологии. В 1996 году окончил Школу-студию Ташкентского театрально-художественного института им. Островского при Ташкентском государственном академическом русском театре драмы им. М. Горького. В этом же году Бейшеналиев впервые появился на экране, снявшись в фильме «Буюк Амир Темур», посвященном 660-летию великого полководца Амира Темура.
В период с 1994 по 1997 годы актер сотрудничал с ташкентским Театром современной хореографии «Лик» под управлением Лилии Севастьяновой. В 2002 году Азиз Бейшеналиев снялся в детективном сериале «Лектор» Вадима Шмелева, а также в криминальной ленте «Трио» Александра Прошкина с Михаилом Пореченковым, Андреем Паниным и Марией Звонаревой в главных ролях. В 2004 году актер принял участие в съемках сериала «Богатство» Эльдора Урузбаева с Олегом Табаковым и Сергеем Баталовым в главных ролях. Позже Азиз Бейшеналиев снялся в военной драме «Кочевник», одним из режиссеров которой был Сергей Бодров.
В 2006 году вышли два фильма с участием актера «Райские птицы» Талгата Асыранкулова и Газиза Насырови и «Меч Махамбета» Сламбека Тауекела. В 2007 году актер снялся в двух частях фильма «Параграф 78» режиссера Михаила Хлебородова, сценаристом которого выступил Иван Охлобыстин. Также в этом году Бейшеналиев исполнил одну из ролей в сериале «На пути к сердцу» Абая Карпыкова.
В 2008 году актер принял участие в съемках казахстанской исторической драмы «Мустафа Шокай» режиссера Сатыбалды Нарымбетова. Позже вышли сериалы с участием Бейшеналиева «Семин», «Дом на Озерной», «Дворик», «Судьба на выбор», «Лектор», а также фильмы «Прыжок Афалины» Эльдора Урузбаева, «Ликвидатор» Акана Сатаева и «Одно звено» Алексея Горлова. В 2012 году актер сыграл отрицательного персонажа Лаптандера в сериале «Побег-2». В 2013 году Азиз Бейшеналиев снялся в сериалах «Дикий 3» (в роли серьезного бандита), «Красные горы» и «Вместе навсегда».
Актер женат, у него растет 11-летний сын Сейтек. Как рассказывал актер в интервью, он стремится привить своему ребенку правильный культурный вкус и разбавляет его кинотеку интеллектуальными советскими и западными фильмами. На вопрос о том, какую роль мечтает сыграть актер, он сказал: «Такую, чтобы потом жена посмотрела и сказала – «Хорошо сработал. На своем месте находишься».
