После окончания семилетки будущий актёр начал работать на саратовском комбайновом заводе слесарем-электромонтёром. Здесь же стал посещать драмкружок. По совету известного саратовского актёра Ивана Слонова поступил в местный театральный техникум. Окончив его в 1937 году, некоторое время проработал в Саратовском драмтеатре. Внимание на молодого актёра обратили во время гастролей театра в Москве. Режиссёр Иван Пырьев пригласил его в свой фильм «Трактористы». В 1939 году картина вышла на широкие экраны и имела большой успех. Именно на съёмках «Трактористов» и следующей киноленты «Истребители» Борис Андреев сдружился с ещё двумя актёрами – Николаем Крючковым и Петром Алейниковым. Всех их впоследствии стали называть не иначе, как «святая троица».
Во время Великой Отечественной войны Борис Андреев вместе с Марком Бернесом снялся в картине «Два бойца». Также в военные годы вышло ещё два фильма с его участием – «Малахов курган» и «Я – черноморец». Во второй половине 40-х актёр снимался в драме «Большая жизнь», военном фильме «Встреча на Эльбе», музыкальной комедии «Кубанские казаки», эпопее «Падение Берлина». В 1954 на экраны вышла драма «Большая семья», в которой Борис Андреев предстал в образе Ильи Журбина. Своей игрой актёр смог передать психологически глубокий характер героя. В 1956 году Андреев сыграл Илью Муромца в одноимённой сказке. Многим зрителям он запомнился именно как русский богатырь.
С наступлением 60-х актёр перешёл на возрастные роли. Наиболее крупной работой для него стала «Оптимистическая трагедия». За исполнение роли Вожака его наградили Государственной премией. В 70-х он практически отошёл от съёмок в кино и переключился на звукорежиссёрскую работу. Последним фильмом, в котором он сыграл, оказалась драма «Предисловие к битве».
Умер советский актёр в 1982-ом – в том же году, что и его жена Галина Васильевна. Похоронен на Ваганьковском кладбище в Москве.
