Школу-Студию МХАТ окончил в 1966 году. После этого работал в Ленкоме, а затем перешёл в Московский драматический театр им. Ермоловой. На его сцене участвовал в спектаклях «Измена», «Невольницы», «Как любил я Вас!», «Балы и страсти Петербурга», «Хищница».
В 1966 году режиссёр Борис Рыцарев снимал фильм-сказку «Волшебная лампа Аладдина». В нём Быстров сыграл свою дебютную роль – Алладина. Молодому актёру довелось работать вместе с такими мэтрами советского кино, как Георгий Милляр, Валентин Брылеев, Эммануил Геллер. После этого небольшие роли ему достались в картинах «Удар! Ещё удар!», «Приключения жёлтого чемоданчика», «Встреча у старой мечети». В 80-90-е годы Борис Быстров снимался редко. Тогда на экраны вышло всего пять фильмов с его участием, это «ТАСС уполномочен заявить…», «Бармен из “Золотого якоря”», «В Крыму не всегда лето», «Дезертир». Наиболее заметной стала драма «Дикий пляж».
Настоящим мастером Борис Быстров стал в такой сфере кино, как дубляж. На озвучивании мультфильмов и зарубежных картин он начал работать ещё в 70-х. Самые известные его работы – озвучка обеих частей «Крёстного отца», боевиков «Последний бойскаут» и «Широко шагая», драмы «Список Шиндлера», фантастической комедии «Люди в чёрном», криминального триллера «Счастливое число Слевина». В последние годы Борис Евгеньевич озвучивал такие кассовые фильмы, как «Тёмный рыцарь», «Адреналин 2: Высокое напряжение», «Гарри Поттер и Дары Смерти: часть 1». В популярных мультипликационных сериалах «Симпсоны» и «Футурама» голосом Быстрова говорят все мужские персонажи. Младший сын Николай от второго брака с актрисой Ириной Савиной тоже пошёл по стопам отца – уже в свои 12 лет он озвучил несколько кинолент.
В новом веке актёр и мастер дубляжа Борис Евгеньевич снялся в сериале «Исаев». В этой киноистории о советском разведчике он сыграл политического деятеля Спиридона Меркулова.
