Борис родился 2 апреля 1949 года в городе Невьянске Свердловской области. Его мать, Маргарита Ивановна, была инженером-технологом, а отец, Григорий Иванович Плотников, работал слесарем. Еще до рождения сына он прошел Великую Отечественную войну, в результате чего был удостоен нескольких государственных наград за заслуги перед Отечеством. Семья оказалась в Невьянске благодаря предкам. Будучи проповедниками старообрядчества, в период двадцатых годов они были вынуждены оставить Сибирь и подыскать более тихое и свободное для вероисповедания место. Вскоре после рождения Бориса вся семья переехала в Новоуральск, где было существенно больше возможностей для развития и роста. Именно там мальчик поступил в музыкальную школу, где проходил многолетнее обучение по классу скрипки. Родители видели будущее сына в музыке, но во время вступительных экзаменов в Свердловскую консерваторию Плотников потерпел фиаско. Тогда не склонный к отчаянию молодой человек обратил свое внимание на профессию актера. Он подал документы в Свердловское театральное училище, успешно прошел вступительные испытания и стал студентом на курсе Юрия Жигульского. Вскоре после окончания обучения Борис получил приглашение присоединиться к труппе Свердловского Театра Юного Зрителя, где в его распоряжении были современные реалистичные роли, герои сказок и классических произведений. Одновременно с этим состоялся кинематографический дебют Плотникова. Борис был выбран на главную роль в военной драме Ларисы Шепитько «Восхождение». Его героем стал бывший учитель, белорусский партизан, внезапно попавший в руки полицаев. Режиссер картины изначально искала на эту роль малоизвестного или неизвестного вовсе актера. По этой причине отказ получили Андрей Мягков, Николай Губенко и Владимир Высоцкий. Двадцатипятилетний Плотников был, по мнению Шепитько, идеальным кандидатом. Единственная сложность состояла в утверждении актера в Госкино. В результате, прежде чем получить роль, Борис принял участие в семи пробах, на которые летал из Свердловска в Москву. Лента была удостоена Гран-при «Золотой медведь» в рамках международного кинофестиваля в Берлине и множества других престижных наград. Желая продолжить образование, Плотников поступил на филологический факультет Уральского государственного университета, где основным источником интереса для актера было искусствоведение. В 1978 году Борис присоединился к труппе Московского театра Сатиры, спустя десятилетие перешел на сцену Центрального академического театра Советской Армии, а, начиная с 2002 года, приступил к службе в Московском Художественном театре имени А. П. Чехова. В 1988 году режиссер Владимир Бортко пригласил Плотникова на роль доктора Борменталя в своей экранизации фантастической трагикомедии «Собачье сердце», поставленной по одноименной повести Михаила Булгакова. Эта работа была удостоена нескольких престижных кинематографических премий и заслужила одну из самых высоких оценок среди советских и российских фильмов по версии IMDb.
