Родился 28 августа 1969 года в Москве. Даниил с детства интересовался драматическим мастерством: он любил читать стихи на публику и даже занимался в театральной студии Дворца пионеров. Однако свою будущую жизнь он связывал с психологией. В 1986 году, после окончания школы, Спиваковский попробовал поступить в МГУ, но не прошел по баллам. Тогда он устроился санитаром в психиатрическую лечебницу, а через год все-таки был зачислен на психологический факультет, но, не доучившись, отправился по призыву в армию.
В 1989 году Спиваковский демобилизовался и восстановился в университете, регулярно принимал участие в студенческих постановках. В конце концов вместе с друзьями он решил поступать в театральный институт и вскоре был принят в ГИТИС на курс знаменитого режиссера и педагога Андрея Гончарова. Интересно, что МГУ Даниил не бросил и получил в 1992-м сразу 2 диплома. В том же году его пригласили в театр Маяковского. Первые роли Спиваковского на сцене – Шут в шекспировской пьесе «Как вам это понравится» и Тишка в спектакле Евгения Лазарева «Банкрот».
В 1991-м состоялся кинодебют актера в эпизоде фильма «Мигранты» Валерия Приемыхова. Затем наступил девятилетний перерыв. В это время Даниил посвятил себя работе над спектаклями «Карамазовы», «Женитьба» и «Любовь глазами сыщика».
В 2000 году Спиваковский вернулся на экраны с ролью инженера из БТИ в телефильме «Маросейка, 12: Операция «Зеленый лед». До 2003-го актер появлялся лишь в эпизодах сериалов, пока на его талант не обратил внимание известный кинорежиссер Валерий Тодоровский («Страна глухих») и не пригласил в свой новый проект «Мой сводный брат Франкенштейн», драму о человеке, вернувшемся с войны. Картина, отмеченная премиями «Золотой орел», «Ника», «Кинотавр», «ММКФ», прославила Спиваковского на всю страну.
В дальнейшем актер много снимался в сериалах: стоит отметить роль Добчинского в «Деле о «Мертвых душах», Ветлугина в «Есенине» и Юры Петрова в «Виоле Таракановой».
В 2006 году на экраны вышел триллер Всеволода Плоткина «Лифт». Спиваковский воплотил Рафаила, одного из невольных заложников неисправного лифта. Спустя год Даниил отметился в крупнобюджетной исторической драме Владимира Хотиненко «1612», а также в комедии Павла Бардина «Трое и Снежинка».
В 2010 году сыграл в картине Никиты Михалкова «Утомленные солнцем 2: Предстояние».
