Его отец был бухгалтером, а мать - домохозяйкой. Социальные убеждения Кленнона сформировались очень рано. Еще в юности он участвовал в забастовках, выходил на улицы с толпами протестующих. Несколько лет он посвятил движению, призывающему закончить войну во Вьетнаме. В это же время он успел исполнить свою первую роль в кино. В 1973 году его пригласили сняться в фильме «Бумажная погоня». Когда война во Вьетнаме закончилась, Кленнон стал актером одного из театров на Бродвее. После первого опыта в киносъемках он начал постоянно появляться на телеэкранах в различных шоу и сериалах. Он снимался в сериалах «Агентство», «Опять и снова», «Тридцать-с-чем-то», а за роль в сериале «Как в кино» получил номинацию на престижную премию «Эмми».
Дэвид Кленнон участвовал во многих известных многосерийных проектах последних лет. В его фильмографии были такие сериалы, как «Клиника», «Скорая помощь», «Говорящая с призраками». С 2013 года он занят на съемках сериала «Карточный домик».
Свою твердую гражданскую позицию актер всегда переносит в фильмы, в которых снимается. Для него политика и кино - неразделимые понятия. Например, в 2012 году он высказывался против выдвижения на премию «Оскар» фильма «Цель номер один». Свой протест Кленнон объяснил тем, что фильм пропагандирует пытки в качестве оружия для борьбы с терроризмом в США. Участие в различных митингах и маршах протеста актер также не оставляет, несмотря на большую занятость на съемочной площадке. В 2014 году на экраны вышел триллер «Исчезнувшая», где Кленнон снялся вместе с Беном Аффлеком.
