Дмитрий родился 25 февраля 1985 года. Сразу после окончания школы он подал документы в Театральный институт имени Бориса Щукина. Вступительные экзамены были успешно преодолены, и Дмитрий стал студентом в мастерской Юрия Шлыкова. Кубасов попробовал себя в качестве театрального актера еще будучи студентом. Его ранними работами стали роли на сцене Государственного академического театра имени Е. Вахтангова. Позднее Кубасов стал принимать участие в проектах театра «Практика». Кинематографический дебют Дмитрия состоялся в скандальном триллере Алексея Балабанова «Груз 200». По признанию режиссера, главные роли в картине изначально были предложены Евгению Миронову и Сергею Маковецкому, но, прочитав сценарий, оба актера наотрез отказались от участия в проекте, а также рекомендовали Балабанову не снимать эту ленту. Кинокритики разделились на два лагеря: одни назвали фильм истинным шедевром, отражающим эпоху, другие – представителем «кинематографической чернухи». Триллер был снят с широкоэкранного показа спустя несколько дней после его начала. Главный женский образ воплотила однокурсница Кубасова, Агния Кузнецова. Сам Дмитрий появился в картине в эпизодической роли Славика. Затем актер принял участие в работе над драмой Александра Бруньковского «Жизнь врасплох», раскрывающей перед зрителями подноготную создания телевизионного реалити-шоу. В 2008 году режиссер Вадим Шмелев пригласил Дмитрия на одну из ведущих ролей в первом молодежном российском слэшере «С.С.Д.», в котором также принимали участие Анфиса Чехова и Евгения Брик. Поворотной в карьере Кубасова стала работа над проектом французского режиссера и сценариста Филиппа Гранрийе. В драме «Озеро» Дмитрий исполнил главную роль. Благодаря сотрудничеству с Гранрийе, Кубасов впервые задумался о режиссерской работе. Идея создания авторского кино (самостоятельная разработка концепции, создание сценария, подбор актеров, режиссура и монтаж) настолько захватила актера, что вскоре после показа готовой ленты в разделе «Горизонты» в рамках Венецианского кинофестиваля он поступил на обучение в мастерскую документального кино Марины Разбежкиной. В результате, параллельно с участием в съемках в ленте Людмилы Гурченко Гурченко «Пестрые сумерки», молодежной мелодраме Андрея Кавуна «Детям до 16…» и в короткометражке Евгении Кулиджановой «Как я поступил со смертью», Дмитрий присоединился к режиссерскому проекту Алексея Жирякова и Дениса Клеблеева «Зима уходи!», посвященному околополитическим вопросам и предвыборной обстановке в стране. Кубасов также начал поиск героев для создания собственной ленты, и в результате свет увидели документальная короткометражная драматическая комедия «Таня пятая», а также документальный проект о настоящей любви «Алехин».
