Мама Дмитрия является театральным режиссером, поэтому и сам Дима с малых лет увлекался актерским мастерством. Однако у Дмитрия Власкина есть еще одно профессиональное увлечение. Он несколько лет занимался большим теннисом и неоднократно был участником всевозможных международных соревнований.
Когда Дмитрию было 16 лет, ему поступило предложение от одного из американских образовательных учреждений выступать за студенческую команду. Такой шанс будущий актер не упустил. Он не только вошел в американскую команду по теннису, но и получил образование психолога, пока пребывал в США.
Как только Дмитрий вернулся на родину, он решил обучиться актерскому мастерству и поступил в Школу-студию МХАТ. В студенческие годы он участвовал в спектакле «Mp3.Равель», который был поставлен режиссером А. Сигаловой. К слову сказать, над этим проектом работала не только Школа-студия МХАТ, но и Центр им. Вс. Мейерхольда.
Дмитрий Власкин был задействован в музыкальной комедии «Гоголь ревизор», которая была поставлена В. Рыжаковым по комедии Н. В. Гоголя «Ревизор». В Учебном театре он играл также в таких спектаклях, как «Книга перемен» и «Лестница в небо».
В 2014 году он с успехом окончил курс Игоря Золотовицкого и в этом же году решил стать членом труппы Московского Художественного театра им. Чехова. Там он задействован в следующих спектаклях: «Соломенная шляпка из Италии», «Сказка о том, что мы можем, а чего нет», «Пиквикский клуб», «Белоснежка и семь гномов».
Дебют Дмитрия Власкина на телевидении состоялся в 2013 году. Тогда на экранах появился сериал «Студия 17». Далее последовала роль Риффа в полнометражном фильме «Веселые ребята». В 2014 году на канале «ТНТ» был запущен еще один проект с участием Власкина - сериал «Физрук». На этот раз он предстал зрителям в образе племянника главного героя, которого сыграл Дмитрий Нагиев.
