Эдуард родился 11 июля 1965 года в Петрозаводске. Отец мальчика состоял на военной службе, а мать, Анфиса Попова, была известной лыжницей Карелии в послевоенный период. Она умерла, когда Эдуард был еще маленьким. Вскоре после этого мальчик переехал к бабушке и дедушке, которые жили в столице. Несмотря на то, что склонность к творческой профессии проявлялась у Радзюкевича еще в детстве, после окончания средней школы он отдал предпочтение техническому вузу. Эдуард полагал, что точные науки позволяют овладеть навыками, с большей вероятностью гарантирующими стабильный заработок. Но спустя несколько лет будущий актер подал документы на поступление в Театральный институт им. Бориса Щукина и, благополучно преодолев вступительные испытания, был зачислен на курс Юрия Авшарова. К 1992 году Радзюкевич окончил театральное училище и вместе с Виктором Бакиным и Александром Жигалкиным основал собственный театр. Он получил название «Ученая обезьяна».
Первый успех и известность пришли к Эдуарду благодаря работе над телевизионными проектами. Так, начиная с 1992 года, Радзюкевич приступил к работе над развлекательной юмористической телевизионной передачей «Сам себе режиссер», идея которой заключалась в демонстрации любительских видеороликов, а сама программа была аналогом американского телешоу «Самое смешное видео». Эдуард принимал участие в озвучивании программы, а также являлся автором большой доли текстов. В этом проекте актер принимал участие вплоть до 2004 года. С 1992 года началась и кинокарьера Радзюкевича. Первой для него стала роль юродивого в эротической драме Никоса Кандауроса «Баллада для Байрона». Затем актер сыграл Вадима в драме Олега Бабицкого и Юрия Гольдина «Траектория бабочки» и Мишу в короткометражке Антона Гонопольского «Елка». Через год Радзюкевич появился в образе капитана ФСБ в телесериале «Марш Турецкого 2», после чего сменил амплуа, сыграв злодея Крю в фильме-опере «Путешествие в Казань». Тогда же Матвей Ганапольский пригласил Эдуарда на главную роль в комедии «С точки зрения ангела». 2002 год начался с работы над мелодрамой Всеволода Плоткина «Главные роли». Картина рассказывала о двух юных провинциалках, приехавших в столицу, чтобы покорить ее. Радзюкевич появился на экране в образе второго режиссера. Затем он стал завлитом Паниным в экранизации романа Михаила Булгакова «Театральный роман». 2004 год принес Эдуарду работу в популярном комедийном сериале Марка Питера Якобсона и Фрэн Дрешер «Моя вторая няня». Героем Радзюкевича стал фотограф модельного агентства. Помимо этого Эдуард также выступил в качестве одного из режиссеров проекта. А в 2005 году режиссер Максим Коростышевский пригласил актера на роль художника Пио в своей драматической комедии «Дура».
В 2010 году Радзюкевич сыграл главную роль в комедии Александра Атанесяна «На измене», актер воплотил образ кандидата в депутаты Госдумы Петра Соломатина, а партнерами Радзюкевича по съемочной площадке стали Андрей Кайков, Андрей Панин, Александр Олешко и Нонна Гришаева.
