Его отец был рабочим и играл в народном театре. После окончания школы Евгений планировал поступить в университет Вильнюса на факультет биофизики. Однако неудача на последнем экзамене нарушила его планы. Чтобы заполнить чем-то свободное время, молодой человек стал играть в том же театре, что и его отец. Актёрская профессия настолько увлекла его, что уже следующим летом он уехал в Москву – поступать в театральный вуз. На сей раз удача была к нему более благосклонна, и Евгений Данчевский поступил в ГИТИС, который окончил в 1972 году. Уже на последнем курсе он получил эпизодическую роль в картине «А зори здесь тихие».
В 1972 году Евгений Данчевский стал актёром Театра имени Моссовета. В этом театре он исполнил множество ролей, как главных, так и небольших. В разные годы играл в спектаклях «Ленинградский проспект», «Чайка», «Царская Охота, «Странная миссис Сэвидж», «Братья Карамазовы» и многих других. Театру имени Моссовета актёр оставался верен всю свою карьеру.
В советском кино ему доставались в основном эпизодические роли. Но даже эти небольшие появления на экране актёр мог сделать незабываемыми. Например, зрителям запомнился английский офицер Фельтон из фильма 1978 года «Д’Артаньян и три мушкетёра». Это тот самый офицер, который должен был арестовать Миледи, но коварная женщина ловко обманула доверчивого англичанина. В 70-80-х годах Данчевский также снялся в картинах «Мёртвые души», «Крейцерова соната», «Гардемарины, вперёд!».
В 90-е годы Евгения Данчевского можно было увидеть только на театральной сцене. На теле- и киноэкранах он появился только в начале 2000-х. Он исполнил множество ролей в сериалах, не отказываясь ни от комедий, ни от детективов. Режиссёры в основном видели в нём учёного, адвоката, врача. В 2012 году он снялся в роли священника в сериале «Страсти по Чапаю». Священнослужителя актёру доводилось играть не впервые, Данчевский также снялся в фильме «Возвращение мушкетёров» Георгия Юнгвальда-Хинкевича.
Евгений Данчевский участвовал в многосерийных остросюжетных проектах, таких как «Право на правду», «Банды», «Грач». В 2013 году на экраны вышел сериал «Земский доктор. Возвращение» с Данчевским в роли Давида Яковлевича. В 2014 году состоялась премьера сериала «Екатерина» о правлении Екатерины Великой, в съёмках которого также принимал участие Евгений Данчевский.
Со своей будущей супругой Евгений Данчевский познакомился ещё во время учёбы в ГИТИСе. Его жена – филолог, преподаёт иностранцам русский язык.
