Славский родился 5 июля 1981 года в Санкт-Петербурге. Сразу после окончания средней школы молодой человек принял решение поступать в Санкт-Петербургский университет профсоюзов. Вступительные экзамены были пройдены успешно, и в 1996 году Евгений стал студентом факультета искусств. Он был принят в мастерскую Светланы Крючковой, где проучился вплоть до 2002-го года. После сдачи дипломной работы Славский получил предложение присоединиться к труппе Большого драматического театра им. Г.А. Товстоногова. На его сцене актер сыграл во множестве спектаклей: «Лес» (Н. Островский), «Макбет» и «Двенадцатая ночь, или Как пожелаете» (У.Шекспир), «Коварство и любовь» (Ф.Шиллер), «Федра» (Ж.Расин), «Жорж Данден» (Ж.-Б. Мольера), «Борис Годунов» и «Станционный смотритель» (А.Пушкин), «Маскарад» (М.Лермонтов), «Ночь перед Рождеством» (Н.Гоголь) и в других. Кинематографический дебют актера состоялся в 2003-м году на съемках мелодрамы Дмитрия Светозарова «Три цвета любви». Евгению досталась эпизодическая роль, а образы главных героев воплотили Анна Самохина и Илья Шакунов. Через год Славский появился в роли заложника в криминальной ленте Вячеслава Сорокина и Игоря Зайцева «Потерявшие солнце», где актер работал вместе с Александром Домогаровым. В образе следователя УСБ Евгений предстал перед зрителями в криминальном сериале Егора Абросимова «Ментовские войны-2». Параллельно шла работа над съемками в популярной многосерийной криминальной ленте Дмитрия Иосифова «Убойная сила-6». Славский появился в качестве телохранителя Дениса Шагаева в третьем фильме «Овертайм». Этот же год принес актеру работу в историческом биографическом приключенческом проекте Алексея Карелина «Фаворит», снятого по роману Валентина Пикуля и рассказывающего об эпохе Петра III и Екатерины II. На этот раз Евгений предстал в образе посла Обрескова. Завершающей работой 2005-го года для Евгения стал приключенческий фильм «Граф Монте-Кристо», созданный режиссером Дмитрием Светозаровым по мотивам романа Александра Дюма. Затем Евгений снялся в многосерийной ленте «Фаворский», где партнерами актера по съемочной площадке стали Илья Шакунов, Нодар Мгалоблишвили и Александр Лыков. Заметной работой стала для Славского роль Вадима, друга главного героя картины, переводчика Андрея, в комедийной приключенческой мелодраме Евгения Бедарева «Тариф Новогодний». Также одну из ключевых ролей Евгений исполнил в приключенческой комедии Вадима Дуленко «Технология». Первой большой работой актера в кино стала роль ординатора кардиологического отделения одной из столичных клиник Михаила Петровского в семейном телесериале Дмитрия Магонова и Киры Ангелиной «Все к лучшему».
