Евгения Константиновна родилась 4 сентября 1952 года в Ростове-на-Дону. В детстве она посещала обычную общеобразовательную школу. Ее мама Ольга Анатольевна оказалась первой, кто зародил в Жене призрачною идею о будущей профессии. Глушенко-старшая предложила дочери расширить кругозор и записаться в какую-нибудь творческую секцию. Девочка выбрала драматический кружок, созданный при городском Доме пионеров. Она сразу полюбила театр, но актерская профессия первое время казалась ей чем-то заоблачным и недосягаемым. Евгения решила, что после окончания школы подаст документы в педагогический институт. В тот период важную роль в ее карьере сыграла руководитель драматического кружка, которая подготовила Глушенко к вступительным экзаменам в Ростовский театральный институт. Женя успешно прошла испытания, однако, проведя в стенах местного вуза всего один год, захотела переехать в Москву.
В столице Глушенко подала документы сразу в несколько творческих институтов. Раньше всех вступительные экзамены проводились в Высшем театральном училище имени М. С. Щепкина при Государственном Академическом Малом Театре. Удача сопутствовала Евгении: первая же попытка увенчалась успехом. Новоиспеченная студентка попала на курс руководителя Малого Театра Михаила Царева. В 1974 году вскоре после выпуска Глушенко предложили сыграть Лизу в постановке «Горе от ума» А. С. Грибоедова на сцене Малого Театра. Впоследствии актриса выходила на эту сцену в течение тридцати лет. Она выступала в таких спектаклях, как «Беседы при ясной луне», «Заговор Фиеско в Генуе», «Мамуре», «Король Лир», «Рядовые», «Красавец-мужчина», «Холопы», «Царь Петр и Алексей», «Горячее сердце», «Преступная мать, или Второй Тартюф», «Пир победителей». В 1996 году Евгения на четыре года перешла в состав труппы Театра Российской Армии, после чего вернулась на сцену родного Малого.
Кинематографический дебют Глушенко состоялся в 1968 году в короткометражной курсовой работе Никиты Михалкова «…А я уезжаю домой». Актриса продолжила сотрудничество с режиссером в следующем проекте – полнометражной драме «Неоконченная пьеса для механического пианино», созданной по мотивам нескольких произведений А. П. Чехова. Главную роль в фильме исполнил Александр Калягин, будущий муж Глушенко. В 1980 году она предстала в образе Антонины Болотниковой в мелодраме Иосифа Хейфица «Впервые замужем», за что была награждена призом Всесоюзного кинофестиваля за «Лучшее исполнение женской роли». Через три года Глушенко удостоилась почетной премии «Серебряный медведь» на Берлинском фестивале за роль в лирической комедии Сергея Микаэляна «Влюблен по собственному желанию». В дальнейшем Евгения Константиновна снялась во множестве фильмов, тепло принятых зрителями, включая «Несколько дней из жизни И.И. Обломова», «Зина Зинуля», «Уникум», «Три женщины и мужчина», «Полицейские и воры», «Королева Марго», «Жизнь Клима Самгина» и др.
