Актерское образование Игорь получил в Школе-Студии МХАТ под руководством заслуженного деятеля искусств РСФСР А.М. Карева. После окончания учебы в 1961 году он начал активную деятельность в качестве актера и режиссера Художественного театра. С 1963 года добавились еще и роли в театре «Современник». Сотрудничество с этим учреждением продолжалось 7 лет. За это время Васильев успел сыграть Генриха в «Голом короле» и Кристиана в постановке «Сирано де Бержерак».
В 1970 году артист выступал на сцене МХАТ, а в 1987 году — в МХТ имени А. Чехова, где он играл до последних дней своей жизни. В репертуаре Игоря Васильева есть классические роли Басманова в спектакле «Борис Годунов», Свидригайлова в «Преступлении и наказании», Оберона в спектакле по пьесе Шекспира «Сон в летнюю ночь», а также многие другие. Популярность у публики артист снискал после того, как принял участие в постановке «Сладкоголосая птица юности». Партнером по сцене в этом спектакле стала А. И. Степанова, которая сыграла роль принцессы Космополис.
Игорь Васильев окончил Высшие курсы сценаристов и режиссеров. Благодаря знаниям, полученным на курсах, он смог в 1972 году снять собственный фильм под названием «Враги».
Кинематографическая карьера Игоря Васильева складывалась и по другую сторону объектива камеры. Зрители запомнили Васильева по ролям в фильмах «Трактир на Пятницкой» и «Вариант “Омега”». Кроме них, в послужном списке актера еще много ролей. С его участием были сняты киноленты «Бабий Яр», «Строится мост», «Единственная дорога», «Завещание профессора Доуэля». Всего Васильев сыграл около тридцати ролей в кино.
В 1984 году Игорь Алексеевич Васильев стал заслуженным артистом РСФСР, а 22 декабря 2003 года получил звание народного артиста России. Последняя театральная роль — старик по имени Али в постановке Московского художественного театра «Тутиш». После смерти Васильева именно этот спектакль был сыгран в память об актере.
