Ия Сергеевна родилась 2 марта 1936 года в Воронеже. Ее детство прошло в разных городах Советского Союза. Еще в довоенное время родители Саввиной разошлись, а мать повторно вышла замуж. После этого семья обосновалась в селе Боринское под Липецком, где пролетели школьные годы будущей актрисы. Прилежная ученица Ия очень любила читать, а в особенности увлекалась поэзией и знала наизусть много стихотворений.
Окончив школу с золотой медалью, Саввина планировала посвятить себя преподавательской деятельности. Она нацелилась переехать в Москву, чтобы поступить на филологический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Впрочем, филологом Саввина так и не стала: к моменту ее приезда в столицу прием документов на желаемый факультет уже закончился. Не растерявшись, абитуриентка сдала экзамены на журналистику и вскоре все-таки попала в МГУ.
С началом учебы в университете Саввина загорелась желанием участвовать в театральной жизни вуза. В школьную пору она нередко играла в спектаклях и не только обладала определенным актерским опытом, но и горячо любила сцену. Многие отмечали в Ие артистический дар. Несмотря на то, что ее работа в студенческом театре поначалу ограничивалась подбором костюмов, небольшие роли в постановках ей все же доставались. Однажды знаменитый советский актер Игорь Липский, возглавлявший в то время театр МГУ, порекомендовал Саввину начинающему театральному режиссеру Ролану Быкову. В итоге Быков доверил ей главную роль в пьесе «Такая любовь». С первых дней показа постановка была признана одним из самых удачных спектаклей за всю историю театра. Основную заслугу в громком успехе «Такой любви» стали приписывать молодой актрисе Ие Саввиной, игра которой никого не оставляла равнодушным.
В 1959 году состоялся кинематографический дебют актрисы в мелодраме Иосифа Хейфица «Дама с собачкой». Работа дебютантки была высоко оценена не только на территории СССР, но и за его пределами. Саввиной пророчили мировую славу. После выхода «Дамы с собачкой» она начала непрерывно получать предложения на съемки, которым, казалось, не было конца. Режиссеры мечтали заполучить молодое и блистательное дарование, совершенно не смущаясь тем фактом, что Саввина даже не получила специального актерского образования.
С начала шестидесятых годов актриса исполнила множество ролей на сцене Театра имени Моссовета и МХАТа имени М. Горького. Кроме того, на ее счету значится более пятидесяти проектов в кино. Наиболее яркими фильмами, в которых снималась актриса, стали драма «История Аси Клячиной, которая любила, да не вышла замуж», военная комедийная история «Служили два товарища», приключенческий фильм «Последний подвиг Камо» и знаменитая комедия Эльдара Рязанова «Гараж», вышедшая на экраны в 1979 году.
На закате жизни Ия Саввина все реже и реже появлялась в кино, объясняя это своей нелюбовью к творчеству современных режиссеров. Однако для некоторых из них она все-таки сделала исключение, снявшись в картинах «Здравствуй, столица!», «Сквозная линия», «Слушая тишину», «Ты меня слышишь?» и в ряде других лент, увидевших свет уже в двухтысячные годы.
