Родился 24 декабря 1984 года в Климовске (Московская область). Проучился в школе 8 лет, после чего поступил в сельскохозяйственное училище в городе Коломна. Через 2 года бросил учёбу в училище в Коломне и поехал в Москву, где успешно сдал вступительные экзамены в Театральное училище имени Щукина. К этому моменту у него уже был небольшой опыт выступления на сцене – он играл перед публикой на гитаре. Но Театральное училище позволило таланту Леонида Бичевина раскрыться по-настоящему. Сразу же после окончания учёбы в 2006 году актёр попал в труппу Театра Вахтангова.
Леонид Бичевин имеет в своём репертуаре главные и второстепенные роли в таких постановках, как «За двумя зайцами», «Сирано де Бержерак», «Фредерик, или Бульвар преступлений», «Посвящение Еве», «Собака на сене» и многих других.
В кино Леонид Бичевин начал сниматься после окончания Щукинского училища. Его первые три роли были не очень заметными – он появился в картинах «Три полуграции», «Учитель в законе», «Простая история». А уже в 2007 году в прокат вышел остросюжетный драматический триллер Алексея Балабанова «Груз 200», где Леонид Бичевин сыграл одну из второстепенных ролей, благодаря работе в этой киноленте он был замечен критиками и именитыми режиссёрами. С этого момента его приглашали во многие картины.
В 2008 году Леонид Бичевин снялся в сложной экранизации рассказа Михаила Булгакова «Морфий», где сыграл главную роль. После выхода этого фильма талант молодого актёра признали многие. Несмотря на весь его потенциал и умения, его предпочитают задействовать в ролях сложных и неоднозначных, рождающих даже некоторое отвращение. Сам Леонид Бичевин признаётся, что ему нравятся именно такие образы.
В 2009 году актёр появился в картинах «Рябиновый вальс» и «Вербное воскресенье». В 2010 году на экраны вышли фильмы «Учитель в законе 2» и «Подсадной» с его участием.
