Родился 7 июня 1940 года в городе Керенск в Иркутской области. Отец мальчика был профессиональным радиомехаником, но в тяжелые послевоенные годы долгое время не мог найти работу по специальности. В конечном итоге удача улыбнулась ему, и он был принят на работу в старый купеческий драматический театр. Так как Леониду едва исполнилось шесть лет, родители не могли оставить сына без присмотра. Мать была загружена работой больше отца, поэтому ребенок проводил время под присмотром главы семейства, в театре. Когда вскоре эту работу пришлось оставить, Леонид, крепко привязавшийся к закулисной атмосфере, старался найти иные возможности попасть в театр. Кулагин познакомился с жившим по соседству оперным музыкантом, который брал мальчика с собой послушать оперу. Мать Леонида умерла, когда ему только исполнилось семь лет. Отец быстро женился повторно, желая дать сыну полноценную семью и женскую заботу.
Когда пришло школьное время, параллельно с учебой Кулагин принимал активное участие в творческой самодеятельности и посещал кружки в местном Дворце пионеров. Многие учителя прочили Леониду актерскую карьеру, и советовали готовиться к поступлению в театральный ВУЗ. К этому времени семья Кулагиных уже переехала из Керенска в более крупный Горький, позднее известный как Нижний Новгород. Несмотря на масштабы города, своего театрального училища здесь не было, а в столицу мнительный и неуверенный в себе Леонид ехать не решался. Но вскоре удача поспособствовала Кулагину – как раз в год окончания школы в Горьком была открыта театральная студия. Именно туда он и поступил. Во время учебы на последнем курсе Леонид встретил свою сверстницу и будущую супругу Милу, которая тоже была актрисой. Вскоре она уехала работать в Читу и надолго осталась там. Кулагин получил и принял приглашение присоединиться к труппе читинского театра. После нескольких лет семейная жизнь завершилась разводом. Переехав в Липецк, Леонил познакомился с другой актрисой и второй женой, Элеонорой. Вскоре в семье появился сын, Алексей.
Параллельно с перипетиями личной жизни, в профессиональной области у актера происходили существенные перемены. Так после многочисленных разъездов по городам Кулагин получил первое приглашение на съемки. Дебютной для него стала роль комиссара Парфенова в новелле «Ангел», снятой режиссером Андреем Смирновым в рамках киноальманаха «Начало неведомого века». Сразу после этого Леониду предложили присоединиться к труппе московского Театра имени Гоголя. Вместе с этим поступило второе приглашение в кино. На сей раз Кулагин появился на экране в образе дворянина Федора Ивановича Лаврецкого в драме Андрея Кончаловского «Дворянское гнездо», снятой по мотивам одноименного романа Ивана Тургенева. За время своей продолжительной карьеры актер сыграл более шестидесяти ролей. В 1993 году состоялся его режиссерский дебют. По собственному сценарию Кулагин создал криминальную ленту «Волчицы».
