Родился Лев Константинович 23 декабря 1931 года в районе Лефортово. В 1941 году он переехал с семьёй в Махачкалу, а после войны вернулся в Москву и продолжил учёбу. В старших классах Дуров попал в драматическую студию при Дворце пионеров Бауманского района, где брал уроки у С. В. Серпинского, искренне верившего в талант мальчика. Лев Дуров прошёл конкурс в Школу-студию МХАТ, представив на заключительном экзамене интерпретацию рассказа «Толстый и тонкий» — свою первую вещь, выученную когда-то для драмкружка. Как и Серпинский несколькими годами ранее, глава комиссии Блинников лично дал Льву понять, что верит в его способности.
На последнем курсе Дуров играл трубача в блинниковской постановке «Егор Булычов». После спектакля к нему подошёл Константин Шах-Азизов, директор Центрального детского театра и, похвалив игру молодого актера, пригласил его в свою труппу. Десять лет, проведённые Дуровым в детском театре, определили дальнейшую карьеру артиста. Здесь он встретил А. В. Эфроса, с которым впоследствии сотрудничал десятки лет. Здесь состоялся и первый опыт Дурова в области режиссуры: Эфрос сделал его своим ассистентом на постановке дебютной пьесы А. Хмелика «Друг мой, Колька».
В 1963 году Дуров ушёл вслед за Эфросом в театр имени Ленинского комсомола, где сыграл одну из самых значимых для себя ролей — роль Гели-Гея в постановке Брехта «Что тот солдат, что этот». В 1967 году Эфросу предложили перейти в Театр на Малой Бронной, и Лев Дуров, разумеется, оказался среди десятка актёров, присоединившихся к Анатолию Васильевичу. Актер участвовал практически в каждом спектакле Эфроса: играл Яго в «Отелло», Чебутыкина в «Трёх сёстрах», Тибальда в «Ромео и Джульетте» — словом, жизнь шла чередой молниеносных трансформаций. В Театре на Малой Бронной артист работает и по сей день.
С 1954 года Лев Дуров начал совмещать работу в театре со съёмками. На сегодняшний момент в его послужном списке уже более 160 киноролей. Лучшим фильмом со своим участием Дуров считает мелодраму «Луной был полон сад», где он сыграл Григория Петровича, современного пенсионера, пишущего лагерные мемуары. Благодаря этой картине Дуров стал двукратным лауреатом Московского международного кинофестиваля.
В 1978 году Дуров окончил Высшие режиссёрские курсы при ГИТИСе и стал режиссёром-постановщиком в Театре на Малой Бронной. Среди поставленных им спектаклей — «Жестокие игры» А. Арбузова, «Золушка» Е. Шварца, «После бенефиса» по А. П. Чехову.
В 1996-м Лев Дуров выпустил свой курс студентов в Школе-студии МХАТ. В 1999 году он опубликовал книгу “Грешные записки”, за которой последовали ещё два сборника: “Байки из Закулисья” и “Байки на бис” (2008).
В настоящее время Лев Дуров продолжает работать в театре и одновременно выступает в спектаклях Школы современной пьесы у Иосифа Райхельгауза.
