Родилась 20 июля 1941 в Сталинабаде (ныне Душанбе), Таджикистан, в семье военного и медика, при весьма загадочных и драматических обстоятельствах: шла война, и, по слухам, девочка появилась на свет во время бомбежки, где-то в пути. Необычное начало жизненного пути, казалось, предвещало Людмиле сложную, яркую судьбу.
Раннее детство Чурсина провела в Сталинабаде. После окончания Великой Отечественной войны семья переезжала из одного военного гарнизона в другой по всей стране, от Заполярья до Кавказа. В подростковом возрасте Людмила была заводилой, за свой гордый нрав частенько получала плохие оценки по поведению, но в седьмом классе взялась за ум и окончила школу с золотой медалью.
Чурсина никогда не мечтала об актерской доле: она видела себя за штурвалом корабля или самолета. Однако решила составить компанию подруге, поступавшей в театральный ВУЗ, поехала в Москву и успешно сдала экзамены сразу в три университета, в том числе в Щукинское училище, на котором и остановила свой выбор.
Юная актриса дебютировала на сцене театра имени Вахтангова. Довольно быстро она выбралась из массовки и начала исполнять ключевые роли, однако ее увлек кинематограф. В своей дебютной ленте на большом экране – «Когда деревья были большими» (1961) – Чурсина играла вместе с Юрием Никулиным, Василием Шукшиным, Леонидом Куравлевым, уже всенародно известными. Актриса мгновенно стала популярной и успешно снималась несколько десятилетий: следует отметить такие ленты с ее участием, как «Русь изначальная», «Сказ про то, как царь Петр арапа женил», «Донская повесть», «Журавушка», «Виринея», «На семи ветрах», мини-сериалы «Долгая дорога в дюнах», «Угрюм-река».
В настоящее время актриса активно играет в телесериалах: «Закрытая школа» (2012), «Маргоша» (2009-2010), «Интерны» (2012); выступает на сцене московского Театра Российской Армии, также была занята в постановках петербургского Александринского театра.
Подробности личной жизнь актриса предпочитает не разглашать. Известно лишь, что после съемок «Донской повести» она вышла замуж за режиссера картины В.А. Фетина. Ее второй муж – океанолог, ученый. Третий – дипломат Игорь Андропов.
