Родилась 19 октября 1975 года в Ленинграде. Родители Людмилы окончили Школу-студию МХАТ, отец Алекасандр Арбат – актер, творческий деятель.
Курепова окончила музыкальную школу по классу фортепиано. Училась в Ленинградском государственном институте театра, музыки и кинематографии имени Н. Черкасова, в конце первого курса перевелась в ГИТИС, в мастерскую Петра Фоменко, а потом вернулась обратно в Петербург. Актриса называла последний поступок не очень умным ее стороны: все дело в том, что она решила попробовать себя в музыкальном театре. Актриса играла в спектаклях «Кассандра» в Детской филармонии и «Леди Макбет» в «Приюте комедианта».
Когда Курепова переживала творческий кризис, она решила на время оставить сцену и отправиться к тете в деревню. Людмила ожидала, что приедет на пустынный хутор, где не будет ни одной живой души, но судьба рассудила иначе. Актриса вспоминала, что по приезде она первым делом увидела человека на коне – своего будущего мужа. Он научил ее водить трактор, доить корову, косить траву. У пары родился сын. Однако со временем девушка поняла, что жизнь в городе ей ближе, и вернулась в Петербург.
На счету актрисы более 20 работ в фильмах и сериалах, среди которых «Улица разбитых фонарей», «Убойная сила», «Агентство НЛС», «Морские дьяволы». Широкую известность Людмиле принес проект «Бедная Настя» (2003). Она сыграла младшую дочь семейства Долгоруких – Соню. По признанию самой Куреповой, эта роль оказалась неинтересной, потому что ее героиня только и делала, что переживала за всех, а ей по нраву более сложные характеры.
Курепова приняла участие в съемках шведской картины «Нокаут» и норвежской криминальной драмы «Секретная боль» (1999). В ленте «Ты меня слышишь?» (2007) актриса сыграла одну из главных героинь – мать мальчика Лехи. Картина посвящена многолетней дружбе мальчика и собаки. В 2010 году Людмила отметилась в фильме «Когда цветет сирень» о девушке без личной жизни, вынужденной содержать семью, а через 2 года появилась сразу в трех проектах: мистической мелодраме «Миллионер» (Лара), детективной драме «Последний герой» (Катя) и фантастическом фильме «Контакт».
У актрисы двое детей. Спутник ее жизни не имеет отношения к миру кино.
