В школьные годы ему нравилось играть на сцене, поэтому, получив аттестат, он решил подать документы в Государственный институт театрального искусства. Там он учился у замечательных педагогов С. Колосова и Л. Касаткиной.
После окончания ГИТИСа его отправляли работать в провинцию, но артисту не хотелось покидать родную Москву, поэтому он устроился в Театре кукол Образцова. Поначалу возможности остаться в родном городе Михаил обрадовался, но позднее, когда ему приходилось постоянно стоять за ширмой, вместо того чтобы играть на сцене, кукольный театр начал его угнетать. Однажды актёр не выдержал и просто ушёл, хлопнув дверью.
Позднее он успел поработать в разных труппах. Сначала в Театре-студии на Красной Пресне, а потом в «Сфере», где ему удавалось играть по 35 спектаклей в месяц. Но и этот театр он покинул, перейдя к Олегу Табакову в его «Табакерку». Там он в основном выступал с небольшими эпизодическими ролями, играл их с блеском, восхищая и других артистов и своего художественного руководителя, в 1993 году он участвовал в постановках Театра Луны и в Театра-кабаре «Летучая мышь». Во втором он проработал около десяти лет, за эти годы было поставлено немало мюзиклов, почти в каждый из которых Михаил Богдасаров внёс свой вклад.
Первые роли в кино актёр сыграл ещё в середине восьмидесятых, он продолжает активно сниматься и в настоящее время. Чаще всего ему достаются яркие эпизоды, а также роли второго плана. Благодаря колоритной внешности ему нередко достаются герои кавказской национальности.
Из последних заметных работ на съёмочной площадке Михаила Богдасарова можно отметить роли в картинах «Непридуманное убийство», «Город соблазнов», «Каникулы строго режима», «Самый лучший фильм – 2».
По стопам Михаила Богдасарова решили пойти его сыновья Сергей и Антон. А вот супруга Михаила Сергеевича Раиса не имеет к театру и кинематографу никакого отношения, она работает страховым агентом.
