Он закончил только три класса. Однако это не помешало таланту будущего актёра проявиться уже в детстве: Михаил пел, танцевал народные танцы и обладал отличным чувством юмора.
В 1936 году семья Пуговкиных перебралась в Москву. Параллельно с работой электромонтёром Михаил занимался в драмкружке в клубе имени Каляева.
Именно с этого и началась карьера талантливого актёра: во время одного из спектаклей кружка Пуговкин познакомился с режиссёром Ф. Н. Кавериным, руководителем Московского драмтеатра, который и пригласил Пуговкина в труппу своего театра. Так шестнадцатилетний Михаил Пуговкин стал работать на сцене Московского драматического театра на Сретенке, где играл с 1939 по 1941 год.
Дебют юного актёра в кино состоялся в 1940 году, когда известный кинорежиссёр Г. Л. Рошаль пригласил Михаила Пуговкина сняться в эпизодической роли в фильме «Дело Артамоновых». Съёмки эпизода закончились 22 июня 1941 года, а уже 24 июня актёр ушёл добровольцем на фронт. Через два года Михаил вернулся к профессии актёра. В 1943 году играл в Русском драматическом театре. Там впервые получил главную роль – в пьесе «Москвичка».
Впоследствии артист учился в Школе-Студии МХАТ, играл в театре Северного флота, Вильнюсском театре русской драмы, театре Ленинского комсомола.
Славу актёру принесла роль Захара Силыча в фильме «Солдат Иван Бровкин», в картинах «Дело “Пёстрых”» и «Девушка с гитарой». В 1960 году Пуговкин навсегда ушёл из театрального мира, полностью посвятив себя кино. Началось его долгое сотрудничество с Леонидом Гайдаем, («Операция “Ы”…», «12 стульев», «Иван Васильевич меняет профессию», «Спортлото-82»), Александром Роу и другими режиссёрами – всего Михаил Иванович сыграл более чем в ста фильмах. Также актёр снялся в ряде серий киножурнала «Ералаш».
В 1991 году Михаил Пуговкин перебрался в Ялту, организовав там «Центр Михаила Пуговкина», в Москву он вернулся только в 1999 году.
Умер актёр 25 июля 2008 года в Москве вследствие обострения сахарного диабета, похоронили его на Ваганьковском кладбище.
