Родился Олег Николаевич 25 марта 1968 года в Свердловске. До десятого класса ходил на фехтование, шпага весила почти 900 г. Своим преимуществом перед соперниками называет то, что является левшой. По фехтованию у актера второй разряд. Около трех лет занимался танцами: народными и классическим балетом. Семьей рассматривалась возможность обучения Олега в Пермском балетном училище.
О том, что хочет стать актером, Леушин заявил родственникам еще в пятом классе. Школьник играл на сцене свердловского Дома офицеров роль пионера Тимы. Однако первая попытка освоить актерскую профессию в вузе успехом не увенчалась. Олег поступил в Свердловский государственный театральный институт, но после года обучения понял, что все идет к отчислению и самостоятельно явился в военкомат. После армии Леушин снова поступает в тот же вуз, отношения с другими сокурсниками и руководителем оказываются гораздо лучше предыдущих. Обучение завершается в 1991 году, а уже год спустя актер приходит в Театр на Юго-Западе. Поначалу выпускник впитывает театральную атмосферу, подрабатывает монтировщиком, в гардеробе, проверяет билеты у зрителей. В Театре у актера есть прозвище «Лева».
Если многих актеров в кинематограф приглашают из театра, у Олега Леушина получилось наоборот. Сначала были первые маленькие роли в кино – роль Димы в «Железном поле» 1986 года и солдата в «Сафари №6» 1990 года. Главную роль в «Сафари №6» исполнял Виктор Авилов, с которым Леушин и разговорился о театре, а после беседы пришел к режиссеру Валерию Беляковичу. Следующее десятилетие актер вплотную играет на театральной сцене, востребованным в кинематографе оказывается с приходом начала 2000-х. В основном, последуют приглашения от создателей отечественных сериалов: «Русские в городе ангелов», «Всегда говори «Всегда», «Русское лекарство», «Частный детектив», «Под Большой Медведицей», «Сваха», «День гнева», «Висяки», «Земский доктор» и другие. В одном из интервью Леушин сказал, что на кинороли соглашается лишь для того, чтобы не потерять навыки работы перед камерой, предпочитая основное время отдавать театральному искусству. Актер принимал предложения по участию в телепроектах «Сто к одному», «Колесо истории», «Телекросс», «Послесловие к святочным снам» и «Территория призраков».
Жена Ольга является актрисой Театра на Юго-Западе. У Олега и Ольги трое детей: сыновья Иван и Георгий, дочь Алина. Несколько лет назад супруги стали бабушкой и дедушкой, сын Иван подарил им внука Александра. После спектаклей актер любит гулять с собакой – восточно-европейской овчаркой по кличке Гертруда.
