Родители переехали на Украину, когда Сергею было 2 года. Образование Сергей получили в Киеве. В 1996 году он поступил в училище культуры и получил профессию режиссёра массовых действий. В 2003 году он окончил Киевский национальный университет театра, кино и телевидения. Большая часть студентов курса, на котором учился Стрельников, вошла в состав труппы новообразованного театра «Ателье 16». В этом театре Сергей Стрельников играл довольно долгое время. Он участвовал в спектаклях «Трёхгрошовая опера», «Ромео и Джульетта», «Тот, кто с неба упал». Также Сергей Стрельников исполнил роль Казановы в одноимённой пьесе.
В кино актёр стал сниматься только с начала 2000-х годов. Первые роли были эпизодическими, в сериалах, которые выходили в основном на украинском ТВ. В 2001 году он дебютировал с небольшой ролью в сериале «День рождения буржуя 2». Постепенно Сергей стал получать более заметные роли, например, милиционера в сериале «Ангел-хранитель» и адъютанта императора Александра в проекте «Бедная Настя». В военном сериале «1941» Стрельникову достался противоречивый персонаж – раненный красноармеец, который оказался дезертиром. В этой небольшой роли Сергей Стрельников был настолько органичен и правдоподобен, что не мог не вызвать восхищения зрителей. Однако несмотря на то что актёр появлялся на телеэкране с завидной регулярностью, больших ролей в начале карьеры ему не предлагали.
Избежать участи вечного исполнителя второстепенных персонажей Сергею Стрельникову помог сериал «Дело было на Кубани», где он исполнил одну из главных мужских ролей. Для актёра это был успех. На съёмочной площадке Сергей работал с такими известными артистами, как Екатерина Вуличенко и Дмитрий Дюжев.
Но широкую известность среди российских зрителей Сергей Стрельников получил после выхода на телеэкраны сериала «Страсти по Чапаю», где актёр сыграл одного из самых знаменитых персонажей гражданской войны. С режиссёром проекта Сергеем Щербининым Стрельников познакомился на съёмках ленты «Дело было на Кубани». Щербинин предложил Сергею сыграть знаменитого командира в новом сериале. Сергей Стрельников в роли Василия Ивановича Чапаева оказался настолько убедительным, что получил за эту работу высокие оценки критиков и премию «Телетриумф». Сериал снимали в двух странах – на Украине и в России. Для съёмок актёру пришлось научиться уверенно держаться в седле, хотя до этого момента он не занимался верховой ездой. В многосерийном фильме «Страсти по Чапаю» раскрываются подробности военной карьеры красного командира и его личной жизни, в том числе первая любовь, женитьба, роман с дочерью белогвардейца.
В 2013 году Сергей Стрельников исполнил роль капитана Орлова в русском сериале «Екатерина», посвящённом вступлению на престол Екатерины II. Главные роли достались Марине Александровой, Владимиру Меньшову и Александру Лазареву мл.
