Владимир Конкин родился 19 августа 1951 года в Саратове. Его отец трудился на железной дороге. В детстве из-за проблем с сердцем будущий артист был лишен обычных мальчишеских развлечений, вроде футбола или лазанья по турникам, но его родители старались компенсировать эти ограничения другими видами досуга. Они всей семьей часто посещали всевозможные выставки, музеи, спектакли. Увлекшись сценическим искусством, Владимир записался в студию известной актрисы Саратовского театра драмы, режиссера и сценариста Натальи Сухостав. Окончив школу, Конкин решил продолжить обучение актерскому мастерству и поступил в местное театральное училище, известное в настоящий момент как Театральный институт Саратовской государственной консерватории им. Собинова.
Саратовская театральная школа считается одной из самых старых и престижных в России, поэтому с поиском работы у Владимира Конкина особых проблем не возникло. В начале семидесятых он присоединился к труппе харьковского Театра юного зрителя, а вскоре перешел в Академический театр им. Моссовета, где, впрочем, тоже надолго не задержался. Через год Владимиру поступило предложение от киностудии им. Довженко. Кинематографический дебют молодого актера состоялся в 1973 году в драматической ленте Николая Мащенко «Как закалялась сталь». Двадцатидвухлетний Конкин сыграл Павка Корчагина, главного героя из одноименного романа Николая Островского. После выхода картины Владимира настигла всесоюзная известность. Более того, за свою дебютную кинороль он был отмечен почетной премией Ленинского комсомола. С тех пор Конкина постоянно приглашали сниматься, однако не на все предложения тот отвечал согласием. Владимир старался выбирать лишь самые достойные сценарии и самых надежных режиссеров. Неважно, доставались ли ему главные или второстепенные роли, он всегда показывал блестящую игру и создавал выразительные экранные образы. Среди ранних работ актера наиболее заметными оказались музыкальная картина «Романс о влюбленных», драма Бориса Ивченко «Марина», телевизионная мелодрама «Переходим к любви», военная лента 1976 года «Аты-баты, шли солдаты», фильм Георгия Калатозишвили «Кавказская повесть» и исторический мини-сериал о жизни известного советского авиаконструктора Бережкова «Талант».
Наибольшую популярность и повсеместную любовь зрителей Владимиру Конкину, несомненно, принесла роль демобилизовавшегося офицера разведки Володи Шарапова в криминальном боевике Станислава Говорухина «Место встречи изменить нельзя». Сюжет знаменитого фильма построен на расследовании серии убийств, проводимом сотрудниками московского уголовного розыска. Конкин работал на площадке в тандеме с культовой фигурой двадцатого века, музыкантом и актером Владимиром Высоцким, который сыграл Глеба Жеглова. Жеглов и Шарапов, воспетые впоследствии группой «Любэ», до сих пор остаются одними из самых легендарных и любимых героев-следователей отечественного кинематографа. В общей сложности послужной список Владимира Алексеевича насчитывает более сорока фильмов, включая такие известные картины, как «Апелляция», «Нетерпение души», «Бульварный роман», «Принцесса на бобах», «Ночь на кордоне», «На реке Девице» и другие.
