Юрий Быков родился 15 августа 1981 года в городе Новомичуринске Рязанской области. Его родители были рабочими. Юрий довольно рано обнаружил в себе склонность к творческой деятельности, а в частности интерес к кинематографу. После окончания школы в 2001 году Быков отправился в Москву, где подал документы во Всероссийский государственный институт кинематографии, остановив свой выбор на актерском факультете. Юрий успешно преодолел вступительные испытания и стал студентом мастерской Владимира Грамматикова.
В 2005 году после выпуска из ВГИКа Быков на протяжении полугода выступал в Театре Российской армии. Как позднее рассказывал артист в одном из интервью, совсем скоро ему пришлось оставить сцену из-за самой прозаичной причины – скромной заработной платы. Молодой человек строил большие планы на будущее. Он променял театральную сцену на костюм клоуна-аниматора, устроившись на работу в детский клуб «Яуза». В стенах клуба Юрий долгое время давал представления, а затем задался целью снять собственный фильм. Отсутствие режиссерского образования приходилось восполнять самостоятельно, посягая азы профессии по учебникам. Одновременно Юрий дважды пробовал поступить во ВГИК на второе высшее. По его собственному признанию, он возлагал большие надежды на принятие нового закона о бесплатном втором режиссерском образовании. Быкова дважды зачисляли на курс, но закон дважды не был принят. Накопленные к тому времени сбережения Юрий хотел целиком потратить на создание собственного фильма. Он также успел поработать в составе труппы Театра Луны, где его руководителем был Сергей Проханов, и на сцене Московского художественного академического театра имени М. Горького. Кроме того, актер подрабатывал благодаря съемкам в рекламных роликах и на телевидении.
Кинематографический дебют Быкова состоялся в 2006 году. Юрий исполнил небольшую роль в мелодраме Александра Назарова, Бориса Рабей и Дмитрия Магонова «Любовь как любовь». В фильме также снимались Сергей Никоненко, Борис Щербаков и Лариса Лужина. Следующей работой Быкова стало участие в сериале Александра Назарова, Сергея Пикалова и Михаила Цитриняка «Все смешалось в доме…». Затем актер появился в популярном молодежном телепроекте Вячеслава Муругова «Ранетки», а в 2008 году предстал в образе убийцы в фильме ужасов Вадима Шмелева «С.С.Д.». Его партнерами по съемочной площадке оказались Анфиса Чехова и Евгения Брик, а продюсером ленты выступил Валерий Тодоровский. Одновременно с этим шла работа над мелодрамой Романа Просвирина «Ключи от счастья». Позднее режиссеры Владимир Тумаев и Армен Арутюнян пригласили актера на съемки приключенческой комедии «Танки грязи не боятся». В 2009 году Быков сыграл в многосерийной мелодраме «Две сестры 2», боевике Вадима Шмелева и Артема Мазунова «Дикий», а также в комедии Андрея Головкова и Федора Красноперова «Солдаты 16: Дембель неизбежен».
В том же 2009 году свет увидел первый режиссерский проект Быкова – короткометражный фильм «Начальник». Картина показывалась в рамках фестиваля «Кинотавр», где была отмечена специальным призом «Короткий метр». Во время церемонии награждения к начинающему режиссеру подошли несколько продюсеров, включая Алексея Учителя. Знаменательное знакомство через год вылилось в создание второй режиссерской работы Быкова, полнометражной криминальной драмы «Жить». В 2013 году на экраны вышел фильм аналогичного жанра «Майор». Новая лента Быкова завоевала три премии на международном кинофестивале в Шанхае в категориях «Лучший фильм», «Лучшая режиссура» и «Лучшая музыка к фильму».
