Родители Юрия — Валентина Ивановна и Дмитрий Семенович — были простыми рабочими из подмосковного Чехова. С восьмилетнего возраста Юрий мечтал быть клоуном, восхищаясь фильмами Чарли Чаплина. Однако поступить в Московское государственное училище эстрадного и циркового мастерства удалось далеко не сразу: Куклачев провалил 6 попыток, причем после шестой его настоятельно убеждали забыть про детские мечты — мол, нет ни таланта, ни данных. Тем не менее, предприняв седьмую попытку, Юрий не прогадал — он, наконец, стал студентом училища. Обучение завершилось в 1971 году — с получением диплома клоуна-акробата-пародиста. В период с 1971 по 1990 год Юрий Куклачев работал в труппе артистов Союзгосцирка.
В 1971 году Юрий Куклачев приютил бездомного котенка. Обратив внимание на его сообразительность, Юрий придумал оригинальную сценку «Клоун и кот», которая быстро завоевала популярность среди зрителей. Номер родился случайно: как-то ночью Юрий встал и обнаружил, что котенок спит в кастрюле. Прогнав его оттуда, клоун увидел, что питомец снова вернулся на понравившееся место. Кстати, процесс постановки этого номера был нелегким: над молодым артистом посмеивались старшие коллеги, шутившие, что Куклачеву не удастся претендовать на лавры Дурова. Однако Юрий отправился в Канаду на соревнования дрессировщиков, где не только получил «Золотую корону», но и приобрел титул посла доброй воли.
Спустя несколько лет талант Юрия Куклачева заметили и на Родине: сначала дали звание заслуженного артиста РСФСР за развитие и пропаганду нового циркового жанра. В 1979 году это Куклачев стал уже народным артистом, в 1980 году получил премию Ленинского комсомола. Среди других наград клоуна стоит отметить японскую премию «Золотого Оскара» и приз «Серебряный клоун», заслуженно выигранный Юрием на цирковом конкурсе в Монако. В 1990 году Юрий Куклачев осуществил свою мечту, основав собственный Театр Кошек на Кутузовском проспекте.
Юрий Куклачев снимался в нескольких фильмах: в 1986 году он исполнил роль Ивана Ивановича в картине «Выше радуги» и появился в эпизодической роли в «Микко из Тампере просит света», в 2009 году Юрий сыграл самого себя в документальном сериале «Московские резиденты».
