И отец, и мать профессионально занимались музыкой. Мефодий Викторович играл на разных струнных инструментах, а Зинаида Ананьевна обладала чудесным голосом меццо-сопрано. Свою любовь к музыке они передали детям – старшему Юрию и младшему Виталию, ставшим впоследствии знаменитыми артистами.
Ещё в Чите, будучи школьником, Юрий побывал на спектакле «Малый театр и его мастера». С этого момента он и начал грезить о театре и сцене. После окончания школы поступил в Театральное училище им. Щепкина. Получив актёрское образование, стал работать на сцене того самого Малого театра. Как и все артисты, начинал с эпизодических ролей. Позднее Соломину доверили играть и более серьёзных персонажей: Безайса – в «Когда горит сердце», Мишу – в «Палате», Пэпино – в «Украли консула», Хлестакова – в «Ревизоре», Войницкого – в «Дяде Ване». Спустя несколько лет работы в театре он начал заниматься и педагогической деятельностью – преподавал в училище им. Щепкина.
Дорогу в кинематограф Юрию Соломину открыла его педагог по училищу Вера Николаевна Пашенная. Именно она порекомендовала Анненскому взять на роль главного героя в картине «Бессонная ночь» своего ученика. Известность пришла к актёру после выхода телевизионного многосерийного фильма «Адъютант его превосходительства». К наилучшим его киноработам относятся такие роли, как Дмитрий Ульянов («Сердце матери»), майор Звягинцев («Блокада»), Телегин (историческая драма «Хождение по мукам»), Трактирщик (сказочная мелодрама «Обыкновенное чудо»), Генрих Айзенштайн (музыкальный фильм «Летучая мышь»).
В 1988 году Юрия Мефодьевича избрали Художественным руководителем Малого театра. В период с 1990 по 1992 годы он занимал пост Министра культуры РФ.
В современном кино актёр тоже периодически появляется. В новом веке он снялся в таких картинах и сериалах, как «Непобедимый», «Мальтийский крест», «Родина ждёт», «Московская сага», «Исаев».
