Александр Артемович родился в Москве 10 августа 1945 года, в весьма благополучной семье: его отец был начальником Главка в Министерстве монтажных и специальных строительных работ, мать работала преподавателем немецкого языка.
Родители постарались дать сыну прекрасное образование и отдали в школу с углубленным изучением французского языка. Помимо языковой практики, Александр получил и первый актерский опыт: в школе был великолепный театральный кружок, где дети играли спектакли на французском языке.
В 1962 году (со второй попытки) Адабашьян поступает в Строгановское училище. В 1964 году уходит на 3 года в армию, где служит в ракетных войсках. В 1967 году возвращается в училище, которое заканчивает в 1971 г.
Впервые на киносъемках будущий актер оказывается благодаря своему другу детства, Никите Михалкову. Михалкову для его дипломной работы во ВГИКе нужен был художник-декоратор, и Адабашьян подошел на эту роль как нельзя лучше.
В дальнейшем Александр в качестве уже художника-постановщика работает на многих картинах Михалкова: «Свой среди чужих, чужой среди своих», «Раба любви», «Пять вечеров», «Несколько дней из жизни И. И. Обломова», «Родня», «Очи черные».
Адабашьян всерьез увлекается кино и осваивает одну профессию за другой. В начале 70-х годов он снимает несколько фильмов в качестве ассистента оператора под руководством мастера Павла Лебешева. А вскоре женится на сестре своего учителя - Марине Лебешевой. Но прожили вместе они недолго, в 1975 году Марина умирает от тяжелой болезни.
Адабашьян дебютирует в качестве сценариста с фильмом «Неоконченная пьеса для механического пианино» в 1977 году. Далее из-под его пера выходят сценарии к фильмам Н. Михалкова: «Пять вечеров», «Несколько дней из жизни И. И. Обломова», «Очи черные», а также «Рецепт ее молодости» (реж. Е. Гинзбург, 1983 г.), «Настя» (реж. Г. Данелия, 1993 г.).
Одна из последних работ драматурга Адабашьяна - в 2012 году участие в написании сценария к фильму «Солнечный удар» Никиты Михалкова, по мотивам произведений И. Бунина.
С фильма «Свой среди чужих, чужой среди своих» началась и актерская карьера Адабашьяна. Тогда ему пришлось заменить заболевшего актера. А на сегодняшний день у Александра в послужном списке около 50 фильмов, среди которых: «Раба любви», «Пять вечеров», «Сибириада», «Родня», «Собака Баскервилей», «12».
Режиссерский дебют Адабашьяна состоялся в 1990 году. Картина «Мадо, до востребования» была снята во Франции и получила ряд престижных европейских премий.
Следующими «авантюрами» Адабашьяна стали постановки опер по приглашению Валерия Георгиева: «Борис Годунов» в 1997 году для Мариинского театра, «Хованщина» в 1998 году для театра «Ла Скала».
За свое творчество Александр Артемович был удостоен многочисленных наград и званий. Он заслуженный художник РСФСР (1983) и лауреат Государственной премии Казахской ССР (1978).
На съемках фильма «Несколько дней из жизни И. И. Обломова» в 1978 году Адабашьян знакомится со своей будущей второй женой, Екатериной Шадриной. У Александра и Екатерины две дочери и трое внуков.
