Родился 20 июня 1970 года в Душанбе.
В 1991 году окончил ЛГИТМиК, курс Игоря Горбачёва. Молодого человека приняли в труппу Александринского театра, где его дебютом стала крохотная роль скомороха в постановке «Ищи ветра в поле».
Баргману покорился как классический, так и современный репертуар. Ему одинаково хорошо удавался шекспировский Клавдий, Григорий Отрепьев в «Борисе Годунове» и моноспектакль «Душекружение». Не раз актер номинировался и становился лауреатом российских и международных театральных фестивалей, а в 1999 году он стал лауреатом Государственной премии РФ.
Помимо Александринского театра, Баргман играл в Петербургском театре «На Литейном», Академическом драматическом театре им. В. Ф. Комиссаржевской и многих других. Театральные критики отмечали его игру, но на актерском поприще ему всегда было тесно. Впоследствии Александр стал режиссером и успешно ставил классические и современные постановки на театральных сценах Санкт-Петербурга, Новосибирска, Тюмени.
В 2002 году Баргман с единомышленниками организовал и учредил «Такой театр», где в полной мере проявился его актерский и режиссерский талант. Судьба Александра прочно связана с театральными подмостками, но и к кинематографу он имеет непосредственное отношение. Приняв когда-то участие в озвучивании вестерна «Рустер Когберн», сейчас он стал настоящей легендой дубляжа.
На счету Баргмана озвучка более сотни фильмов, сериалов, мультфильмов: «История игрушек», «Самолет президента», «Титаник», «Один дома», «Угнать за 60 секунд», «Говорящие с ветром», «Хроники Нарнии», «Аватар» и многие другие. В различных фильмах голливудские актеры (Джим Керри, Том Хэнкс, Тим Рот) говорят голосом Александра. А в 2003 году он озвучил капитана Джека Воробья в первом фильме приключенческой саги «Пираты Карибского моря: Проклятие Черной жемчужины», и сделал это так гармонично, что с тех пор является официальным голосом Джонни Деппа в отечественном прокате.
Несмотря на плотный график работы, актер находит время для съемок в фильмах и сериалах. Так, в 2005 году он примерил на себя образ поручика Ржевского в сериале «Подлинные истории поручика Ржевского». В 2008 году в исторической драме Андрея Кравчука «Адмиралъ» он перевоплотился в предводителя матросского восстания в Севастополе. В том же году вышел фильм с его участием «Полторы комнаты, или Сентиментальное путешествие на Родину», созданный по биографии Бродского.
Многим телезрителям Александр запомнился в роли Георгия Шпакова в сериале 2009 года «Люди Шпака». Комедийный персонаж предводителя милиционеров-неудачников никого не оставил равнодушным.
В 2013 году Баргман принял участие в съемках комедии Алены Демьяненко и Дмитрия Томашпольского «F 63.9 Болезнь любви».
