Александр родился 3 января 1958 года в Ленинграде. Отец мальчика часто и подолгу отсутствовал дома, уходя в дальние международные плавания на корабле, потому его воспитанием в основном занималась мать. Она работала на заводе, и большую часть времени Саша был предоставлен сам себе. Несмотря на относительную свободу от опеки, мальчик рос воспитанным, самостоятельным и организованным. Лишним подтверждением этого была прекрасная школьная успеваемость. Родители видели профессиональную карьеру сына связанной с морем и судоходством. Сам Саша в детстве тоже грезил океаном, находясь под впечатлением от приключений французского исследователя Жака-Ива Кусто. Помимо этого Половцев искренне увлекся сценической игрой. Еще во время обучения в школе он стал участником драматического кружка. Именно это увлечение со временем стало приоритетным. Сразу после школы Александр подал документы на поступление в Ленинградский государственный институт театра, музыки и кинематографии. К сожалению, вступительные испытания оказали слишком сложными для будущего актера. Не отчаявшийся Половцев поступил в техникум морского приборостроения, где проучился всего один сезон. Через год целеустремленный Александр предпринял вторую попытку стать студентом театрального ВУЗа. На этот раз удача улыбнулась ему, и он был принят на актерский факультет в мастерскую Владимира Викторовича Петрова.
Сразу после окончания ЛГИТМиК новоиспеченный актер был вынужден поступить на армейскую службу. После ее окончания Половцев был принят в труппу петербуржского Детского Музыкального Театра «Время», на сцене которого исполнил множество ролей, включая Бабу Ягу и Кощея Бессмертного. Кинематографическим дебютом стала двухсерийная трагикомедия Сергея Овчарова «Оно», созданная по мотивам повести Салтыкова-Щедрина «История одного города». Главные роли в картине исполнили Светлана Крючкова, Маргарита Терехова, Наталья Гундарева, Олег Табаков, Ролан Быков и Леонид Куравлев. Следующей работой стала комедия Юрий Мамина «Бакенбарды», где партнером по съемочной площадке стал Виктор Сухоруков.
В 1993 году Сергей Овчаров снова пригласил Половцева в свой проект. На сей раз Александру была предложена главная роль в фильме «Барабаниада». Лента была удостоена множества наград. Среди них Специальный серебряный Георгий, приз открытого российского кинофестиваля «Кинотавр» за авторское кино. В 1995 году Половцев принял участие в озвучивании одного из героев комедии Александра Рогожкина «Особенности национальной охоты», сержанта Семенова. Через год режиссер пригласил Александра на роль в своей новой комедии «Операция «С Новым годом!». Еще через год Рогожкин приступил к работе над телесериалом «Улицы разбитых фонарей», и пригласил Александра на главную роль майора, а позднее подполковника милиции, начальника убойного отдела, Олега Георгиевича Соловца. Эта роль принесла актеру всенародную известность и любовь зрителей.
