Родился Алексей Барабаш 12 июня 1977 года в Ленинграде. Он с детства любил ходить в Театр Юного Зрителя, особенно на спектакли о Бильбо Бэггинсе и Бэмби. Детское увлечение оказало прямое влияние на выбор профессии. Барабаш успешно сдал вступительные испытания и в возрасте 20 лет окончил факультет искусств в Санкт-Петербургском гуманитарном университете профсоюзов. Мастером курса, на котором учился Барабаш, был именитый педагог Зиновий Корогородский.
В 1997 году актер активно сотрудничал с ТЮЗом, участвуя в спектаклях «Конек-горбунок» и «Бонжур, мсье Перро». Начиная с 1998 года, Алексей Барабаш работал в экспериментальном театре «Балтийский дом», выступая под руководством Анатолия Прудина в постановках «Крокодил» (роль Матроса), «Сизиф и Камень» (Тезей), «Урок первый. Воскресенье» (Четвертый).
В 2000 году актер перебрался с театральных подмостков на киносъемочные площадки. Старт оказался не очень ярким: небольшие эпизоды в фильмах «Сестры» и «Русский бунт». Зато позже Барабаша пригласили в телевизионный проект «Ниро Вульф и Арчи Гудвин», режиссируемый Евгением Татарским. Татарский очень тепло отзывался об актере и даже сравнивал его с Олегом Далем. Следующим важным этапом в карьере Алексея стала совместная работа с гигантами отечественного кино Олегом Янковским и Виктором Сухоруковым. Актеры сотрудничали на съемках фильма «Бедный, бедный Павел», где Барабаш сыграл Александра I.
После успеха «Бедного, бедного Павла» многие режиссеры заинтересовались выразительным новичком. Барабаша приглашали в проекты, посвященные истории России. Так, в картине «Любовь императора» он предстал князем Долгоруковым, в «Подлинной истории поручика Ржевского» — корнетом Оболенского, а в ленте «Пером и шпагой» — Станиславом Понятовским. Кульминацией исторической темы можно назвать главную роль в фильме Эрнеста Ясана «Жизнь и смерть Леньки Пантелеева». Барабаш попал в проект в самый последний момент, после того как режиссер перебрал почти всех кандидатов.
Известным на всю страну Алексея Барабаша сделали две ленты: «Мы из будущего 2» и «Питер FM». В первой из них он предстал в образе агрессивного националиста из Украины, пересмотревшего взгляды после путешествия в прошлое. Во втором фильме он сыграл Костю, несостоявшегося мужа главной героини.
В 2009 году на долю актера выпала своеобразная роль-вызов: ему довелось предстать Моцартом в экранизации «Маленьких трагедий» Пушкина. Вызов состоял в том, что прежде Моцарта играли мастера Смоктуновский и Золотухин. По мнению общественности, Барабаш справился с поставленной задачей превосходно.
Алексей Игоревич был женат на актрисе Наталье Бурмистровой, но крепким их союз не оказался. Сейчас Алексей состоит в браке с другой актрисой — Анной Здор. Барабаш, по собственному признанию, не разменивается на слабые проекты или неинтересные роли, не любит светские вечеринки и модные телешоу. По этому поводу актер говорит: «По-моему, лучше "выстреливать" редко, но метко».
