С кинематографом судьба связала его, когда он учился в Ленинградском военно-механическом институте. В 1955 году его утвердили на роль Вали Солнцева в мелодраме «Первый эшелон». Дебютным фильм оказался не только для Алексея Кожевникова – вместе с ним свои первые кинороли сыграли Олег Ефремов и Татьяна Доронина.
После выхода на экраны «Первого эшелона» недостатка в предложениях сниматься в кино не было. В 1957 году Алексей был задействован на съёмках фильма «На острове Дальнем...». В том же году он исполнил эпизодическую роль в драме «Повесть о молодожёнах». В 1958 году сыграл Костю Вавилова в мелодраме «Они встретились в пути». Популярность к молодому актёру пришла в 1959 году, когда режиссёр Игорь Чулюкин снял его в своей ставшей теперь нетленной комедии «Неподдающиеся». В этой картине Алексей предстал в образе лоботряса Вити Громобоева. Фильм, в котором он снялся вместе с кинозвездой тех лет Надеждой Румянцевой, одарил его первыми лучами славы. Именно после выхода «Неподдающихся» он окончательно ушёл с завода, где работал инженером-конструктором, и устроился штатным актёром на киностудию «Ленфильм». Трио Румянцева-Белов-Кожевников ещё раз порадовало зрителей в 1962 году, когда в прокат вышла знаменитая «Королева бензоколонки». Именно в этой картине Кожевникову довелось сыграть одну из самых ярких своих ролей – Тараса. После этого ему доставались роли второго плана, а чаще – и вовсе эпизодические. Как штатного актёра «Ленфильма» его снимали в таких кинолентах, как «Зайчик», «Два билета на дневной сеанс», «Начальник Чукотки», «Удар! Ещё удар!», «Любовь Яровая», «Двенадцать месяцев».
Алексей Александрович снимался до самой смерти. Последний фильм, в котором он был занят, – комедия «Джек Восьмёркин – “американец”». Актёра не стало 6 сентября 1986 года. Его похоронили на Большеохтинском кладбище в Ленинграде.
