Родился 30 октября 1922 года в небольшом городе Вязьма (Смоленская область), в простой семье военного. Его мать, Елена Росковская, полячка по национальности, работала модисткой. Через несколько лет после появления Анатолия на свет супруги переехали в Москву.
В школе Папанов вел себя как все мальчишки: озорничал, играл со сверстниками. Однако особый интерес у него вызывал драматический кружок. После получения аттестата Анатолий устроился литейщиком на Московский шарикоподшипниковый завод, но прежнего увлечения не забывал и регулярно посещал одну из театральных студий. В 1937-м он поучаствовал в съемках фильма «Ленин в Октябре».
В первые же дни Великой Отечественной войны Папанов отправился на фронт. В 1942 году под Харьковом он был серьезно ранен в ногу, несколько месяцев пролежал в госпитале, демобилизовался инвалидом III группы. Вернувшись в Москву, Анатолий поступил в ГИТИС, в мастерскую Марии и Василия Орловых. В 1946-м актер исполнил свои дебютные роли в спектаклях «Дети Ванюшина» и «Дон Хиль – зеленые штаны».
Папанова приглашали во МХАТе и в Малый театр, однако он вместе с сокурсниками уехал в Клайпеду (Литва), чтобы создать собственную труппу. В 1946-м Русский драматический театр в Клайпеде открыл двери для зрителей, и Анатолий, один из его штатных артистов, сыграл Сергея Тюленина в постановке «Молодая гвардия» по одноименному роману Александра Фадеева.
В 1948 году актер перевелся в московский Театр Сатиры по личному приглашению режиссера Андрея Гончарова. Именно там в полной мере раскрылся многогранный талант Папанова. Всего он сыграл более чем 50 ролей из пьес классических и современных драматургов.
Всенародно известным Папанова сделал кинематограф. Он снялся в невероятно популярных фильмах «Берегись автомобиля», «Служили два товарища», «Бриллиантовая рука», «Джентльмены удачи», «12 стульев», «Холодное лето пятьдесят третьего». Фильмография актера насчитывает более 60 картин.
Многие знают, что Волк из мультфильма «Ну, погоди!» говорит голосом Папанова. Артист озвучил несколько десятков персонажей из любимых мультипликационных картин многих советских и российских детей: «Летучий корабль», «Дед Мороз и серый волк», «Маугли», «Кот в сапогах», «Русалочка».
Анатолий был женат на Надежде Каратаевой, актрисе театра и кино. Дочь супругов, Елена, пошла по стопам родителей. Папанов умер в своей квартире в 1987 году в возрасте 64 лет от сердечного приступа.
