Обучался в Школе-студии МХАТ, которую окончил в 1987 году. Затем вошел в состав труппы Театра «Современник-2», но через два года перешел в Театр им. Маяковского. Актер был задействован в спектаклях «Забавы Дон Жуана», «Розенкранц и Гильденстерн мертвы», «Бумбараш», «Орфей спускается в ад», «Леди Макбет Мценского уезда» и других.
Если не считать появления Андрея Лебедева в фильме-спектакле 1990 года «Два дня из жизни бывшего капитана», то на экране актер дебютировал в 1992 году, сыграв бомжа в фильме Андрея Морозова «Хэлп ми». Однако активно сниматься актер начал только с 2000 года, до этого появившись лишь в сериале «Королева Марго», картине Карена Шахназарова «День полнолуния» и фильме «Динамит».
В новом веке Андрей Лебедев был задействован в основном в телевизионных сериалах. В незначительных ролях он снялся в таких фильмах, как «Марш Турецкого», «Остановка по требованию», «Дальнобойщики», «Кодекс чести», «Приключения мага», «На углу, у Патриарших», «Бальзаковский возраст, или Все мужики сво…», «Близнецы», «Евлампия Романова. Следствие ведет дилетант-2». В 2002 году актер покинул Театр им. Маяковского, чтобы больше времени уделять съемкам.
В 2005 году он получил одну из главных ролей в приключенческом многосерийном фильме «Свой человек», где сыграл в компании с такими актерами, как Андрей Краско и Андрей Чубченко. Затем актер появился в полнометражных картинах «Статский советник», «Нанкинский пейзаж», «Незнакомая земля», а также продолжил активно сниматься в сериалах «Диверсант-2. Конец войны», «Возвращение Турецкого», «Папины дочки», «Эксперты», «Гаишники».
В 2008 году Андрей Лебедев исполнил главную роль в телевизионной драме Бориса Казакова «Жил-был дед», и сразу следом сыграл одну из главных ролей в сериале «Я лечу» с участием Владислава Галкина и Владимира Стеклова. После этого актер отметился участием во многих сериалах, среди которых - «Ранетки», «Глухарь. Возвращение», «Универ», «Кремлевские курсанты», «Высший пилотаж», «Из жизни капитана Черняева», «Семь жен одного холостяка», «Метод Лавровой» и «Амазонки».
