Был рожден 2 мая 1958 года в небольшой деревне в Свердловской области. Детство будущего актёра прошло в городе Нижний Тагил. Их семья была достаточно бедной и Анвару приходилось носить ту одежду, которая доставалась как материальная помощь. Порой она не подходила по размеру и мальчик выглядел забавно, но в ответ на насмешки ровесников он только подыгрывал им и старался смеяться вместе. Получив среднее образование Либабов стал студентом ветеринарного училища. Успешно закончив которое в 1977 году он переехал в северную столицу и поступил в Ленинградский ветеринарный институт. После завершения учёбы был направлен в Калининскую область в один из колхозов. Спустя некоторое время он перешёл в совхоз в Ленинградской области. Там Анвар и стал проявлять творческие наклонности и участвовал в деятельности местного клуба. А в 1981 году он записался в школу пантомимы при театре «Лицедеи». С началом смутного периода перестройки Либабов в 1987 году остался без работы в совхозе, тогда он стал профессионально играть на театральной сцене в качестве клоуна.
Уже за год до этого в 1986 году Анвар снялся в своём первом фильме, это была музыкальная лента «Как стать звездой», а начинающий актёр выступил в привычной ему роли клоуна. Но каким-либо стартом карьеры эта работа не оказалась. Спустя несколько лет в 1994 году ему досталась второстепенная роль в фильме «Замок», за которую он был удостоен приза на фестивале «Созвездие». А ещё через два года Либабов сыграл на эпизодических ролях в картинах «Про уродов и людей», «Хочу в тюрьму» и «Бобака Саскервилей». В тот период он уже являлся руководителем театра «Лицедеи», на сцене которого когда-то совершал свои первые шаги на пути к популярности. С началом 2000-х годов актёрская карьера Анвара наконец начала развиваться. Ему стали активно предлагать роли в различных проектах. Так с его участием на экраны вышли такие сериалы как «Убойная сила», «Улицы разбитых фонарей 3», «Папа на все руки» и «Литейный, 4», в которому ему досталась наиболее заметная роль. Кроме того актёр стал участвовать в музыкальных фестивалях и сотрудничал со многими популярными коллективами.
В связи с занятостью в кино в начале 2000-х годов он был вынужден оставить свою должность в театре. Среди последних картин с участием Либабова такие фильмы как «Не думай про белых обезьян», «Вопрос чести» и «Трудно быть Богом». Анвар уже несколько лет женат на театральном критике и продюсере Наталье, вместе с которой воспитывает их дочь, ставшую музыкальным журналистом.
