Элиас родился 11 марта 1961 года в Монреале, Канаде, в семье греков. Его отец работал слесарем, а мама трудилась модисткой. Увлекаться театром Элиас начал еще в школе. Cразу после ее окончания Котеас решил получить профессиональное образование. Молодой человек отправился в Америку, в Нью-Йорк, где ему удалось поступить в Академию драматического искусства. Также в Нью-Йорке Элиас учился еще и в Актерской студии (изучал актерское мастерство с Эллен Берстин и Питером Мастерсоном).
После окончания учебы в 1983-ем Котеас стал членом Академии.
Начинающий артист дебютировал как театральный актер и добился на этом поприще серьезных успехов. Элиас, в частности, исполнил роли в таких пьесах, как «Вишневый сад», «Смерть коммивояжера», «Поцелуй женщины-паука» и других значимых спектаклях.
На экранах Элиас впервые появился в 24 года в американской драме «Private Sessions» (1985) в эпизодической роли парня по имени Джонни. Затем сыграл незначительную роль в семейной сказке «Волшебное Рождество» (1985). Через два года актер появился уже в главной роли в молодежной драме о хитросплетениях любви «Чудеса своего рода» (1987). Ему также удалось получить работу в военной драме Фрэнсиса Форда Копполы «Сады камней» (1987), которая удостоилась номинации на главный приз ММКФ. Именитый режиссер Коппола снял Элиаса и в своем следующем фильме - «Такер: Человек и его мечта» (1988). В этой истории о бунтующем мечтателе Престоне Такере, который в 40-х годах ввел такие нововведения в автопроме, как пристежные ремни, система вспрыска топлива и дисковые тормоза, Элиас сыграл одного из ведущих персонажей - Алекса Тремулиса. Картина имела успех у зрителя и, в частности, получила «Золотой глобус».
В том же году вышли еще три ленты с участием 27-летнего актера, его роли в кино стали ведущими. В драме «Онассис: Самый богатый человек в мире» (1988) Элиас Котеас сыграл молодого греческого магната - мультимиллиардера Онассиса, взлетевшего на вершину власти из нищеты и прославившегося своими романами с оперной суперзвездой Марией Каллас и Первой Леди Америки Джеки Кеннеди. А в комедийной мелодраме «Полная Луна в голубой воде» (1988) он перевоплотился в вышедшего из психушки парня Джимми, который работает в баре. В боевике «Маларек: Парень, которому повезло» (1988) Котеас появился уже в главной роли.
После работы над картинами «Красный, как кровь» (1989) и «Друзья, любовники, и лунатики» (1989) Элиас Котеас сыграл героя, который прославил его по всему миру. В 1990-ом году актер появился в ленте, ставшей культовой, «Черепашки-ниндзя», истории о четырех черепашках и крысе в канализационных трубах Нью-Йорка, которые вляпались в радиационные отходы и превратились в разумных супергероев. Элиас сыграл Кейси Джонса, который стал его прорывом в кино.
Чуть позже Котеас начал работать с именитыми режиссерами Америки и кинозвездами Голливуда. Так, он сыграл у Эндрю Николла в «Гаттаке» (1997) вместе с Итаном Хоуком, Джудом Лоу и Умой Турман. Фильм был номинирован на «Оскар». Затем - у Терренса Малика в военной драме «Тонкая красная линия» (1998) с Шоном Пенном, Ником Нолти и Джеймсом Кэвизелом. Эта лента также удостоилась номинации на «Оскар», а следом получила призы на Берлинском кинофестивале.
В 2008-ом Элиас Котеас появился в нашумевшей картине Дэвида Финчера «Загадочная история Бенджамина Баттона» с Брэдом Питтом и Кейт Бланшетт.
Элиас был один раз женат на актрисе Дженнифер Рубин, однако брак распался.
