Гектор родился в семье нотариуса – пуэрториканки Кармен Медина-Рейес, и бухгалтера – баска Мартина Эчеварриа Элизондо, 22 декабря 1936 года в Нью-Йорке. Путь в кино для Гектора был длинным и тернистым. В школе он делал равные успехи, как музыке, так и в спорте. Гектор пел в хоре мальчиков, занимался в бейсбольной и баскетбольной командах. Изучал драматическое искусство. А затем поступил в колледж, чтобы стать учителем истории. Если бы не любовь, актера Гектора Элизондо, возможно, и не существовало бы вовсе. Но случилось так, что первокурсник женился - и у него родился сын. Став отцом, Гектор больше не мог позволить себе учиться – молодой человек пошел работать, чтобы обеспечивать семью. Выходит так, что брак отвратил Гектора от педагогической стези и помог ему свернуть на актерский путь. Впоследствии брак Гектора распался, а 26-летний Элизондо пошел учиться в Балетную школу Карнеги-Холл. Тогда-то молодой человек и начал первые «взрослые» попытки играть на сцене. Практически сразу же начинающий актер обрел известность, благодаря главной роли в спектакле «Бог». Эта работа, помимо узнаваемости, принесла ему победу на театральной премии «Obie award».
В кино Гектор дебютировал в 27 лет, снявшись в небольшой роли в фильме «Толстая черная киска» (1963). Следом актер часто играл, появляясь в голливудских фильмах ежегодно и без пауз, в основном, в ролях второго плана («Землевладелец», 1970, «Рожденные побеждать», 1971, «Захват поезда Пелэм 1-2-3», 1974, «Американский жигало», 1979 и др.)
В «восьмидесятых» годах актер познакомился с режиссером Гэрри Маршаллом, который был потрясен талантом Гектора. Это знакомство, без преувеличений, стало судьбоносным для его карьеры. Мужчины подружились, и впоследствии режиссер Гэрри Маршалл приглашал Гектора Элизондо в свои фильмы, которые стали настоящими голливудскими хитами и прославили актера по всему миру.
Так было в 1990-ом году, когда Гэрри представил свою мелодраматическую комедию «Красотка» с Джулией Робертс и Ричардом Гиром в главных ролях. Сказка о любви финансового магната к проститутке стала любимой лентой для миллионов зрителей по всему миру, собрала больше 463 миллионов долларов (при бюджете в 14 миллионов!) и прогремела на «Оскаре» и «Золотом глобусе». Фильм сделал звездой Джулию Робертс и весь актерский состав картины, в том числе, и Гектора, который сыграл эпизодическую роль Барни. За эту работу актер удостоился престижной номинации на «Золотой глобус».
Весь этот триумф мгновенно перекинул Элизондо на другой уровень работы в Голливуде. Он стал играть в фильмах с кассовыми звездами, и сам получать – первые роли («Необходимая жестокость», 1991, «Заход на посадку», 1991, «Под тяжестью доказательств», 1992, «Полицейский из Беверли-Хиллз 3», 1994, и др.) Его имя регулярно мелькало на фестивалях – «Эмми», «Золотом глобусе», на Премии Гильдии актеров.
Свою популярность актер закрепил работой в американском медицинском телесериале «Надежда Чикаго» (1994 – 2000), где Гектор исполнил главную роль администратора больницы – доктора Филиппа Уоттерса.
Следом Элизондо снялся в других фильмах своего друга Маршалла – «Ничего общего» (1990) с Томом Хэнксом в главной роли, «Фрэнки и Джонни» (1991) с Аль Пачино и Мишель Пфайффер, «Как стать принцессой» (2001) с Энн Хэтэуэй и других картинах, став настоящей звездой Голливуда.
Последней супругой Элизондо стала актриса и модель Кэроли Кэмпбелл.
