В 1961 году Юрий окончил Щукинское театральное училище. После окончания учебы й актер вошел в состав труппы Московского Академического театра Сатиры. В 1967 году Юрий Авшаров начал преподавательскую деятельность в Щукинском училище. Работал художественным руководителем театра «Студия имени Михаила Чехова».
За свою многолетнюю театральную карьеру Юрий Авшаров сыграл во множестве постановок, среди которых - «Женский монастырь», «Дон Жуан, или Любовь к геометрии», «Женитьба Фигаро», «Затюканный апостол», «Ревизор», «Недоросль», «Вишневый сад», «Ворон», «Комедиант», «Укрощение строптивой», «Священные чудовища», «Преступление и наказание» и «Сторож».
Также Юрий Авшаров выступил режиссером-постановщиком спектаклей «Село Степанчиково и его обитатели», «Похожий на льва», «Варвары», «Прощай оружие», «Пигмалион», «Женитьба», «Высокое напряжение», «Доходное место», «Старший сын», «Пигмалион» и многих других. В 1998 году Авшаров стал заведующим кафедрой актерского мастерства Международного Славянского Института.
Кинокарьера артиста стартовала в далеком 1968 году. Его первой картиной стала драма Юрия Ерзинкяна «Жил человек». В следующий раз он появился в ленте 1974 года «Безумный день, или Женитьба Фигаро» в роли Василя. В том же году снялся в альманахе «Маленькие комедии большого дома». Позднее фильмография актера пополнилась участием в таких картинах, как «Ну, публика!», «Красавец – мужчина», «Копилка», «Ревизор» и «Огонь, мерцающий в ночи».
В 1987 году Юрий Михайлович сыграл сержанта Дунгама в приключенческой ленте Павла Любимова «Следопыт». Затем в кинокарьере артиста наступил большой двенадцатилетний перерыв. Только в 1999 году он вновь вернулся на экраны, снявшись в сериале «Поворот ключа». В 2002 году исполнил Георга в телефильме Александра Адабашьяна Азазель». В 2007 году сыграл в сериале «Ликвидация».
