Игорь родился 14 мая 1963 года в селе Березовка Саратовской области. Уже в юном возрасте Игорь проявлял интерес к актерской профессии. Параллельно со школьным обучением мальчик начал посещать городскую театральную студию. Его преподавателем стал театральный режиссер и педагог, выпускник Театрального училища имени Бориса Щукина, Владимир Федосеев. Режиссер-постановщик Саратовского театра юного зрителя, Федосеев поставил порядка двух десятков спектаклей. Владимир Захарович также работал на театральном факультете Саратовской консерватории, что отчасти предопределило будущий выбор Игоря Савочкина. Сразу после окончания школы Игорь принял решение получить образование, более соответствующее представлениям родителей о востребованности. Успешно пройдя вступительные экзамены, Савочкин поступил в Саратовский институт механизации сельского хозяйства. Вскоре стало очевидно, что не к этой профессии лежала творческая душа Игоря. Савочкин подал документы на театральный факультет Саратовской государственной консерватории имени Собинова, куда был зачислен, успешно пройдя вступительные испытания, на курс, возглавляемый Риммой Беляковой и Георгием Банниковым. В 1991 году, после окончания обучения, начинающий актер принял решение серьезно заняться карьерой. Для этого он оставил Саратов и переехал в столицу. В Москве Савочкин нашел работу в театре Сергея Кургиняна «На досках», а вскоре перешел в «Театр на Покровке» под руководством Сергея Арцыбашева. В определенный момент времени Игорь был одним из ведущих на радиостанции «Ностальжи». Дебютной кинематографической работой Савочкина была роль красного командира в историческом биографическом проекте Леонида Марягина «Троцкий». В том же году актер снялся в эпизодической роли в фантазии на тему пьесы Антона Чехова «Три сестры», драме Бориса Бланка «Если бы знать…», где его партнерами стали Александр Домогаров и Юлия Меньшова. Последующая кинематографическая карьера актера была тесно связана с именем режиссера и продюсера Тимура Бекмамбетова. Так, в 2004 году на большие экраны вышла фантастическая лента «Ночной дозор» по одноименной книге Сергея Лукьяненко. Главную роль в этой ленте исполнил Константин Хабенский. А Игорь Савочкин появился в картине в образе соседа Светланы и работника ТЭЦ, Максима Ивановича. Через год этот персонаж Савочкина возник в продолжении первого фильма – ленте «Дневной дозор». В 2008 году Игорь вновь работал с Хабенским, на этот раз на съемочной площадке исторического боевика Андрея Кравчука «Адмиралъ». Здесь героем Савочкина стал генерал Войцеховский. Через год Игорь сыграл роль в фантастическом супергеройском фильме Александра Войтинского и Дмитрия Киселева «Черная молния». В 2010 году актер появился в криминальной мелодраме Александра Баранова «Любовь под прикрытием», а годом позже – в военной драме Сергея Маховикова «Тихая застава». Параллельно началась работа над сериалом, основанным на реальных событиях, «Жизнь и приключения Мишки Япончика». Одной из ярких работ Игоря стала роль второго сына, Дмитрия Шаманова, в криминальной драме Олега Погодина «Дом».
